Номер 10, страница 89, часть 1 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 1. Глава 2. Динамика. Параграф 18. Силы всемирного тяготения. Закон всемирного тяготения - номер 10, страница 89.

Условие.

10. Ракета массой $m = 1$ т движется по круговой орбите вокруг Земли так, что всё время находится на одной прямой, соединяющей Землю и Луну. Расстояние от Земли до Луны примерно в 60 раз больше радиуса Земли. Масса Луны примерно в 81 раз меньше массы Земли. Ракета находится от Земли на таком расстоянии, при котором суммарное действие на неё гравитационных сил со стороны Земли и Луны равно нулю. Оцените это расстояние.

Решение.

Ответ: ___________.

Решение.

Дано:

Масса ракеты $m = 1$ т

Расстояние от Земли до Луны $R_{ЗЛ} \approx 60 \cdot R_З$, где $R_З$ — радиус Земли.

Масса Луны $M_Л \approx \frac{1}{81} M_З$, где $M_З$ — масса Земли.

Перевод в систему СИ:

$m = 1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$

Найти:

Расстояние от Земли до ракеты ($x$), при котором суммарная гравитационная сила равна нулю.

Решение:

Ракета находится на прямой, соединяющей Землю и Луну. Точка, в которой суммарная гравитационная сила, действующая на ракету, равна нулю, должна находиться между Землей и Луной, так как сила притяжения к Земле должна уравновесить силу притяжения к Луне.

Пусть $x$ — искомое расстояние от центра Земли до ракеты. Тогда расстояние от ракеты до центра Луны будет $R_{ЗЛ} - x$.

Согласно закону всемирного тяготения, сила притяжения ракеты к Земле ($F_З$) и к Луне ($F_Л$) определяются формулами:

$F_З = G \frac{M_З \cdot m}{x^2}$

$F_Л = G \frac{M_Л \cdot m}{(R_{ЗЛ} - x)^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная.

По условию задачи, суммарное действие сил равно нулю. Это означает, что силы $F_З$ и $F_Л$ равны по модулю и противоположны по направлению:

$F_З = F_Л$

$G \frac{M_З \cdot m}{x^2} = G \frac{M_Л \cdot m}{(R_{ЗЛ} - x)^2}$

Масса ракеты $m$ и гравитационная постоянная $G$ сокращаются:

$\frac{M_З}{x^2} = \frac{M_Л}{(R_{ЗЛ} - x)^2}$

Подставим в уравнение соотношение масс Земли и Луны из условия: $M_Л = \frac{M_З}{81}$.

$\frac{M_З}{x^2} = \frac{M_З/81}{(R_{ЗЛ} - x)^2}$

Сократим массу Земли $M_З$:

$\frac{1}{x^2} = \frac{1}{81(R_{ЗЛ} - x)^2}$

Из этого равенства следует:

$81(R_{ЗЛ} - x)^2 = x^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Поскольку расстояния $x$ и $(R_{ЗЛ} - x)$ являются положительными величинами, получаем:

$9(R_{ЗЛ} - x) = x$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$9R_{ЗЛ} - 9x = x$

$9R_{ЗЛ} = 10x$

$x = \frac{9}{10} R_{ЗЛ} = 0.9 R_{ЗЛ}$

Таким образом, ракета находится на расстоянии, равном $0.9$ от расстояния между Землей и Луной, если считать от Земли.

Теперь оценим это расстояние, используя данные из условия, что $R_{ЗЛ} \approx 60 R_З$:

$x = 0.9 \cdot (60 R_З) = 54 R_З$

Ответ: Расстояние от Земли, на котором суммарное гравитационное действие на ракету со стороны Земли и Луны равно нулю, составляет $0.9$ расстояния от Земли до Луны, или примерно 54 радиуса Земли.