Номер 3, страница 91, часть 1 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 1. Глава 2. Динамика. Параграф 19. Движение планет. Искусственные спутники - номер 3, страница 91.

Условие.

3. Определите модуль $\text{v}$ скорости спутника, движущегося по круговой орбите на расстоянии от поверхности Земли, равном её радиусу $R_З = 6,4 \cdot 10^3 \text{ км}$. Считайте, что на спутник действует только гравитационная сила Земли. Определите также период $\text{T}$ движения этого спутника по круговой орбите. Масса Земли $M_З = 6 \cdot 10^{24} \text{ кг}$.

Решение.

Шаг 0. Выбор модели.

Шаг 1. Выбор ИСО.

Шаг 2. Изобразим на рисунке круговую орбиту, центр которой совпадает с центром Земли, и силу $\vec{F}$, действующую на спутник. Ось Х проведём в направлении силы $\vec{F}$.

Шаг 3. Проекция силы $\vec{F}$ на ось X _______

Шаг 4. Запишем второй закон Ньютона для спутника в проекции на ось X: _______

Шаг 5. Модуль силы $\vec{F}$ равен: _______

где _______

Шаг 6. Спутник движется по окружности равномерно. Поэтому модуль ускорения спутника $a = \_\_\_\_\_\_\_$, где $v = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$. Поскольку длина орбиты спутника $s = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$, то период $T = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$

Шаг 7. С учётом результатов предыдущих шагов получаем:

(1) (уравнение движения спутника)

(2) (закон всемирного тяготения)

(3) (формула для расчёта периода)

Шаг 8. Решение системы уравнений.

Ответ: _______________.

Решение.

Шаг 0. Выбор модели.

Спутник и Землю будем считать материальными точками. Движение спутника будем рассматривать как равномерное движение по окружности.

Шаг 1. Выбор ИСО.

Свяжем инерциальную систему отсчёта (ИСО) с центром Земли. Будем считать её неподвижной.

Шаг 2. Изобразим на рисунке круговую орбиту, центр которой совпадает с центром Земли, и силу $\vec{F}$, действующую на спутник. Ось X проведём в направлении силы $\vec{F}$.

На спутник действует только одна сила – сила гравитационного притяжения $\vec{F}$, направленная к центру Земли. Ось X направим по этой силе, то есть к центру Земли.

Шаг 3. Проекция силы $\vec{F}$ на ось X

Поскольку вектор силы $\vec{F}$ сонаправлен с осью X, его проекция на эту ось равна модулю силы: $F_x = F$.

Шаг 4. Запишем второй закон Ньютона для спутника в проекции на ось X:

Согласно второму закону Ньютона, $F_x = m a_x$, где $m$ - масса спутника, а $a_x$ - проекция его ускорения на ось X. Так как спутник движется по окружности, его ускорение является центростремительным ($a_c$) и направлено к центру окружности (Земли), то есть по оси X. Таким образом, $a_x = a_c$. Получаем: $F = m a_c$.

Шаг 5. Модуль силы $\vec{F}$ равен:

Модуль силы гравитационного притяжения определяется законом всемирного тяготения: $F = G \frac{M_З m}{r^2}$, где $G$ - гравитационная постоянная, $M_З$ - масса Земли, $m$ - масса спутника, $r$ - расстояние между центрами Земли и спутника (радиус орбиты). По условию, спутник находится на расстоянии, равном радиусу Земли $R_З$ от её поверхности, значит, радиус орбиты $r = R_З + R_З = 2 R_З$.

Шаг 6. Спутник движется по окружности равномерно. Поэтому модуль ускорения спутника $a = a_c = \frac{v^2}{r}$, где $v$ - модуль его скорости. Поскольку длина орбиты спутника $s = 2 \pi r$, то период $T = \frac{s}{v} = \frac{2 \pi r}{v}$.

Шаг 7. С учётом результатов предыдущих шагов получаем:

(1) (уравнение движения спутника) $F = m \frac{v^2}{r}$

(2) (закон всемирного тяготения) $F = G \frac{M_З m}{r^2}$

(3) (формула для расчёта периода) $T = \frac{2 \pi r}{v}$

Шаг 8. Решение системы уравнений.

Дано:

$h = R_З$

$R_З = 6,4 \cdot 10^3 \text{ км}$

$M_З = 6 \cdot 10^{24} \text{ кг}$

$G \approx 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$ (гравитационная постоянная)

Перевод в систему СИ:
$R_З = 6,4 \cdot 10^3 \cdot 10^3 \text{ м} = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

$v - ?$, $T - ?$

Решение:

1. Найдем радиус орбиты спутника:

$r = R_З + h = R_З + R_З = 2R_З = 2 \cdot 6,4 \cdot 10^6 \text{ м} = 12,8 \cdot 10^6 \text{ м}$.

2. Приравняем правые части уравнений (1) и (2) из Шага 7, чтобы найти скорость $v$:

$m \frac{v^2}{r} = G \frac{M_З m}{r^2}$

Сократим массу спутника $m$ и радиус $r$:

$v^2 = G \frac{M_З}{r}$

$v = \sqrt{G \frac{M_З}{r}} = \sqrt{G \frac{M_З}{2 R_З}}$

Подставим числовые значения:

$v = \sqrt{6,67 \cdot 10^{-11} \frac{6 \cdot 10^{24}}{12,8 \cdot 10^6}} \approx \sqrt{\frac{40,02 \cdot 10^{13}}{12,8 \cdot 10^6}} \approx \sqrt{3,126 \cdot 10^7} \approx 5591 \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 5,6 \frac{\text{км}}{\text{с}}$

3. Теперь найдем период обращения $T$ по формуле (3) из Шага 7:

$T = \frac{2 \pi r}{v}$

Подставим числовые значения:

$T = \frac{2 \cdot 3,14 \cdot 12,8 \cdot 10^6}{5591} \approx \frac{80,384 \cdot 10^6}{5591} \approx 14377 \text{ с}$

Переведем в часы для наглядности: $14377 \text{ с} / 3600 \frac{\text{с}}{\text{ч}} \approx 3,99 \text{ ч} \approx 4 \text{ ч}$.

Ответ:

Скорость спутника $v \approx 5,6$ км/с, период обращения $T \approx 14377$ с (или $\approx 4$ часа).