Номер 9, страница 19, часть 3 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 3. Глава 8. Оптика. Параграф 40. Закон прямолинейного распространения света - номер 9, страница 19.

Условие.

9*. Паук опускается с потолка комнаты на паутине вертикально вниз со скоростью, модуль которой $v = 5 \text{ см/с}$. Стена находится на расстоянии $L = 3 \text{ м}$ от вертикали, по которой движется паук, а лучи Солнца, освещающие паука, образуют с горизонтом угол $\alpha = 30^\circ$. С какой скоростью будет двигаться по стене тень паука? С какой скоростью тень будет двигаться, когда со стены перейдёт на пол? Сделайте поясняющий рисунок.

Решение.

Решение.

Дано:

Скорость паука $v = 5$ см/с

Расстояние до стены $L = 3$ м

Угол падения солнечных лучей с горизонтом $\alpha = 30°$

Перевод в систему СИ:

$v = 5 \text{ см/с} = 0.05 \text{ м/с}$

$L = 3 \text{ м}$

Найти:

Скорость тени на стене $v_{ст}$

Скорость тени на полу $v_{п}$

Решение:

Для решения задачи введем систему координат. Пусть начало координат O находится в точке на потолке, из которой паук начинает опускаться. Ось OY направим вертикально вниз, а ось OX — горизонтально в сторону стены. В этой системе координат траектория движения паука — это ось OY. Стена представляет собой вертикальную прямую, заданную уравнением $x=L$. Поскольку Солнце находится очень далеко, его лучи можно считать параллельными друг другу. Они падают на землю под углом $\alpha$ к горизонтали.

Поясняющий рисунок можно представить как сечение комнаты. Потолок — это горизонтальная линия, от которой начинается движение паука (из начала координат O). Стена — это вертикальная линия на расстоянии $L$ от траектории паука. Пол — это горизонтальная линия на некоторой высоте $H$ от потолка. Паук (точка P) движется вниз по оси OY. Солнечный луч, проходящий через паука, создает его тень (точка S) либо на стене, либо на полу.

С какой скоростью будет двигаться по стене тень паука?

Пока тень находится на стене, ее горизонтальная координата постоянна и равна $L$. Найдем ее вертикальную координату $y_{ст}$. Пусть в некоторый момент времени $t$ паук находится в точке P с координатами $(0, y_p)$. Его тень в этот момент находится на стене в точке S с координатами $(L, y_{ст})$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точкой P, точкой тени S и точкой Q с координатами $(L, y_p)$, лежащей на стене на одной высоте с пауком.

Горизонтальный катет этого треугольника равен $PQ = L$, а вертикальный — $QS = y_{ст} - y_p$. Угол, который образует солнечный луч (гипотенуза PS) с горизонталью (катет PQ), по условию равен $\alpha$.

Из определения тангенса угла в прямоугольном треугольнике следует:

$\tan(\alpha) = \frac{QS}{PQ} = \frac{y_{ст} - y_p}{L}$

Отсюда можно выразить вертикальную координату тени $y_{ст}$ через вертикальную координату паука $y_p$:

$y_{ст} = y_p + L \tan(\alpha)$

Скорость — это производная от координаты по времени. Продифференцируем это выражение по времени $t$, чтобы найти скорость тени на стене $v_{ст} = \frac{dy_{ст}}{dt}$. Скорость паука равна $v = \frac{dy_p}{dt}$.

$v_{ст} = \frac{d}{dt}(y_p + L \tan(\alpha)) = \frac{dy_p}{dt} + \frac{d}{dt}(L \tan(\alpha))$

Поскольку расстояние до стены $L$ и угол $\alpha$ являются постоянными величинами, производная от второго слагаемого ($L \tan(\alpha)$) равна нулю:

$v_{ст} = v + 0 = v$

Таким образом, скорость тени на стене равна скорости движения паука.

$v_{ст} = 5$ см/с.

Ответ: Скорость тени на стене равна 5 см/с (или 0.05 м/с).

С какой скоростью тень будет двигаться, когда со стены перейдёт на пол?

Когда тень паука перемещается на пол, ее вертикальная координата становится постоянной и равной высоте комнаты $H$ (расстояние от потолка до пола). Теперь будет меняться ее горизонтальная координата $x_п$. Пусть в некоторый момент времени паук находится в точке P с координатами $(0, y_p)$, а его тень — на полу в точке S с координатами $(x_п, H)$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точкой P, точкой тени S и точкой R с координатами $(0, H)$, лежащей на полу под пауком. Горизонтальный катет этого треугольника равен $RS = x_п$, а вертикальный — $PR = H - y_p$. Угол, который образует солнечный луч (гипотенуза PS) с горизонталью (катет RS), по-прежнему равен $\alpha$.

Из определения тангенса угла имеем:

$\tan(\alpha) = \frac{PR}{RS} = \frac{H - y_p}{x_п}$

Выразим отсюда горизонтальную координату тени на полу $x_п$:

$x_п = \frac{H - y_p}{\tan(\alpha)} = (H - y_p)\cot(\alpha)$

Чтобы найти скорость тени на полу $v_п$, найдем модуль производной от координаты $x_п$ по времени $t$.

$\frac{dx_п}{dt} = \frac{d}{dt}((H - y_p)\cot(\alpha)) = \cot(\alpha) \cdot \frac{d}{dt}(H - y_p) = \cot(\alpha) \cdot (0 - \frac{dy_p}{dt})$

$\frac{dx_п}{dt} = -v \cot(\alpha)$

Знак минус указывает на то, что тень движется в сторону уменьшения координаты $x$ (т.е. к стене), пока паук опускается (координата $y_p$ увеличивается). Скорость (модуль скорости) тени на полу равна:

$v_{п} = \left|\frac{dx_п}{dt}\right| = |-v \cot(\alpha)| = v \cot(\alpha)$

Подставим числовые значения:

$v_{п} = 5 \text{ см/с} \cdot \cot(30°) = 5 \cdot \sqrt{3} \approx 5 \cdot 1.732 \approx 8.66$ см/с.

Ответ: Скорость тени на полу равна $5\sqrt{3}$ см/с, что приблизительно равно 8.66 см/с (или $\approx 0.087$ м/с).