Номер 4, страница 37 - гдз по физике 9 класс учебник Грачев, Погожев

Глава 1. Кинематика. Параграф 6. Относительность движения. Сложение движений. Принцип независимости движений. Упражнения - номер 4, страница 37.

Условие.

4. В произвольном случае формула расчёта модуля скорости, полученная при сложении двух скоростей, согласно теореме косинусов имеет вид: $v^2 = v_1^2 + v_2^2 - 2v_1 \cdot v_2 \cdot \cos\alpha$, где $\alpha$ — угол между векторами скоростей $v_1$ и $v_2$. Проведите анализ этого выражения. Рассмотрите частные случаи:

а) скорости параллельны;

б) скорости перпендикулярны. Проанализируйте изменение модуля суммарной скорости при изменении угла $\alpha$.

Решение.

Решение

Проведем анализ выражения для модуля скорости $v^2 = v_1^2 + v_2^2 - 2v_1 \cdot v_2 \cdot \cos\alpha$, где $\alpha$ — угол между векторами скоростей $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$.

a) скорости параллельны
Если векторы скоростей параллельны, то возможны два случая:
1. Скорости сонаправлены. В этом случае угол между векторами $\alpha = 0^\circ$, а косинус этого угла $\cos(0^\circ) = 1$. Подставим это значение в формулу: $v^2 = v_1^2 + v_2^2 - 2v_1 v_2 \cos(0^\circ) = v_1^2 + v_2^2 - 2v_1 v_2 = (v_1 - v_2)^2$.
Отсюда модуль результирующей скорости: $v = \sqrt{(v_1 - v_2)^2} = |v_1 - v_2|$.
2. Скорости направлены в противоположные стороны. В этом случае угол между векторами $\alpha = 180^\circ$, а косинус этого угла $\cos(180^\circ) = -1$. Подставим это значение в формулу: $v^2 = v_1^2 + v_2^2 - 2v_1 v_2 \cos(180^\circ) = v_1^2 + v_2^2 - 2v_1 v_2(-1) = v_1^2 + v_2^2 + 2v_1 v_2 = (v_1 + v_2)^2$.
Отсюда модуль результирующей скорости: $v = \sqrt{(v_1 + v_2)^2} = v_1 + v_2$.
Ответ: Если скорости параллельны и сонаправлены ($\alpha = 0^\circ$), то $v = |v_1 - v_2|$. Если скорости параллельны и направлены в противоположные стороны ($\alpha = 180^\circ$), то $v = v_1 + v_2$.

б) скорости перпендикулярны
Если векторы скоростей перпендикулярны, то угол между ними $\alpha = 90^\circ$. Косинус этого угла $\cos(90^\circ) = 0$. Подставим это значение в формулу: $v^2 = v_1^2 + v_2^2 - 2v_1 v_2 \cos(90^\circ) = v_1^2 + v_2^2 - 0 = v_1^2 + v_2^2$.
Модуль результирующей скорости в этом случае равен $v = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$. Этот результат соответствует теореме Пифагора.
Ответ: Если скорости перпендикулярны, то модуль суммарной скорости равен $v = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$.

Анализ изменения модуля суммарной скорости при изменении угла $\alpha$
Рассмотрим зависимость модуля скорости $\text{v}$ от угла $\alpha$ по формуле $v^2 = v_1^2 + v_2^2 - 2v_1 v_2 \cos\alpha$. Поскольку величины $v_1$ и $v_2$ постоянны, изменение $\text{v}$ определяется членом $-2v_1 v_2 \cos\alpha$.
Угол $\alpha$ между векторами может изменяться от $0^\circ$ до $180^\circ$. В этом интервале функция $\cos\alpha$ монотонно убывает от $\text{1}$ до $-1$.
Следовательно, множитель $-\cos\alpha$ монотонно возрастает от $-1$ (при $\alpha=0^\circ$) до $\text{1}$ (при $\alpha=180^\circ$). Это означает, что при увеличении угла $\alpha$ от $0^\circ$ до $180^\circ$ значение $v^2$, а значит и сам модуль скорости $\text{v}$, монотонно возрастает.
Минимальное значение скорости достигается при $\alpha = 0^\circ$ (сонаправленные векторы): $v_{min} = |v_1 - v_2|$.
Максимальное значение скорости достигается при $\alpha = 180^\circ$ (противоположно направленные векторы): $v_{max} = v_1 + v_2$.
Ответ: При увеличении угла $\alpha$ между векторами скоростей от $0^\circ$ до $180^\circ$ модуль результирующей скорости, рассчитанный по данной формуле, монотонно возрастает от минимального значения $v_{min} = |v_1 - v_2|$ до максимального значения $v_{max} = v_1 + v_2$.