Номер 3, страница 37 - гдз по физике 9 класс учебник Грачев, Погожев

Глава 1. Кинематика. Параграф 6. Относительность движения. Сложение движений. Принцип независимости движений. Вопросы - номер 3, страница 37.

Условие.

3. Покажите, что закон сложения скоростей следует из закона сложения перемещений.

Решение.

3. Дано:

Закон сложения перемещений (или преобразование Галилея для координат), который связывает радиус-векторы тела в двух системах отсчёта – неподвижной (K) и подвижной (K'):

$\vec{r}(t) = \vec{R}(t) + \vec{r'}(t)$

где:

• $\vec{r}(t)$ – радиус-вектор тела в неподвижной системе отсчёта K,

• $\vec{R}(t)$ – радиус-вектор начала подвижной системы отсчёта K' относительно начала неподвижной системы K,

• $\vec{r'}(t)$ – радиус-вектор тела в подвижной системе отсчёта K'.

Найти:

Показать, что из закона сложения перемещений следует закон сложения скоростей.

Решение:

По определению, мгновенная скорость является первой производной радиус-вектора по времени. Чтобы найти связь между скоростями тела в разных системах отсчёта, возьмём производную по времени от обеих частей уравнения, описывающего закон сложения перемещений:

$\frac{d}{dt} \vec{r}(t) = \frac{d}{dt} (\vec{R}(t) + \vec{r'}(t))$

Поскольку производная суммы равна сумме производных, получаем:

$\frac{d\vec{r}(t)}{dt} = \frac{d\vec{R}(t)}{dt} + \frac{d\vec{r'}(t)}{dt}$

Каждая из этих производных представляет собой определённую скорость:

• $\vec{v} = \frac{d\vec{r}(t)}{dt}$ – это скорость тела относительно неподвижной системы отсчёта K (абсолютная скорость).

• $\vec{V} = \frac{d\vec{R}(t)}{dt}$ – это скорость подвижной системы отсчёта K' относительно неподвижной K (переносная скорость).

• $\vec{v'} = \frac{d\vec{r'}(t)}{dt}$ – это скорость тела относительно подвижной системы отсчёта K' (относительная скорость).

Подставив эти определения в полученное уравнение, мы приходим к выражению:

$\vec{v} = \vec{V} + \vec{v'}$

Это и есть классический закон сложения скоростей, который гласит, что абсолютная скорость тела равна векторной сумме его относительной и переносной скоростей. Таким образом, закон сложения скоростей непосредственно следует из закона сложения перемещений путем его дифференцирования по времени.

Ответ:

Закон сложения скоростей $\vec{v} = \vec{V} + \vec{v'}$ является производной по времени от закона сложения перемещений $\vec{r}(t) = \vec{R}(t) + \vec{r'}(t)$, что и требовалось показать.