Номер 2, страница 109 - гдз по физике 9 класс учебник Громов, Родина

Глава 3. Гравитационные явления. Параграф 25. Движение тела, брошенного под углом к горизонту. Вопросы - номер 2, страница 109.

Условие.

2. От чего зависит дальность полёта тела, брошенного под углом к горизонту? По какой траектории движется такое тело?

Решение.

От чего зависит дальность полёта тела, брошенного под углом к горизонту?

Решение

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, в идеализированной модели (без учёта сопротивления воздуха) можно рассматривать как наложение двух независимых движений: равномерного движения вдоль горизонтальной оси (ось Ox) и равноускоренного движения с ускорением свободного падения $\text{g}$ вдоль вертикальной оси (ось Oy).

Пусть тело брошено с начальной скоростью $v_0$ под углом $\alpha$ к горизонту.

Разложим вектор начальной скорости на составляющие:

Горизонтальная составляющая: $v_{0x} = v_0 \cos \alpha$ (остаётся постоянной в течение всего полёта).

Вертикальная составляющая: $v_{0y} = v_0 \sin \alpha$ (изменяется под действием силы тяжести).

Запишем уравнения движения для координат тела в любой момент времени $\text{t}$:

$x(t) = v_{0x} t = (v_0 \cos \alpha) t$

$y(t) = v_{0y} t - \frac{gt^2}{2} = (v_0 \sin \alpha) t - \frac{gt^2}{2}$

Дальность полёта $\text{L}$ – это горизонтальное расстояние, пройденное телом за всё время полёта $\text{T}$. Время полёта – это время, за которое тело возвращается на начальную высоту, то есть $y(T) = 0$.

Найдём время полёта $\text{T}$:

$(v_0 \sin \alpha) T - \frac{gT^2}{2} = 0$

$T \left( v_0 \sin \alpha - \frac{gT}{2} \right) = 0$

Отсюда $T = 0$ (начальный момент времени) или $T = \frac{2v_0 \sin \alpha}{g}$ (время всего полёта).

Теперь подставим найденное время $\text{T}$ в уравнение для горизонтальной координаты:

$L = x(T) = (v_0 \cos \alpha) T = (v_0 \cos \alpha) \frac{2v_0 \sin \alpha}{g} = \frac{v_0^2 \cdot (2 \sin \alpha \cos \alpha)}{g}$

Применяя тригонометрическое тождество синуса двойного угла $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin(2\alpha)$, получаем формулу для дальности полёта:

$L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Анализируя эту формулу, можно сделать вывод, что дальность полёта зависит от следующих величин:

1. От квадрата начальной скорости ($v_0^2$): чем больше начальная скорость, тем больше дальность полёта.

2. От угла броска ($\alpha$): дальность зависит от $\sin(2\alpha)$. Максимальное значение $\sin(2\alpha)=1$ достигается при $2\alpha = 90^\circ$, то есть при $\alpha = 45^\circ$. Этот угол обеспечивает максимальную дальность полёта при прочих равных условиях.

3. От ускорения свободного падения ($\text{g}$): дальность обратно пропорциональна $\text{g}$. На Луне, где $\text{g}$ меньше, тело при тех же начальных условиях улетело бы дальше.

Ответ: Дальность полёта тела, брошенного под углом к горизонту, зависит от модуля начальной скорости и от угла броска.

По какой траектории движется такое тело?

Решение

Для определения формы траектории необходимо найти зависимость вертикальной координаты $\text{y}$ от горизонтальной $\text{x}$, исключив из уравнений движения время $\text{t}$.

Из уравнения для $x(t)$ выразим время:

$t = \frac{x}{v_0 \cos \alpha}$

Подставим это выражение в уравнение для $y(t)$:

$y(x) = (v_0 \sin \alpha) \left( \frac{x}{v_0 \cos \alpha} \right) - \frac{g}{2} \left( \frac{x}{v_0 \cos \alpha} \right)^2$

После упрощения получаем уравнение траектории:

$y(x) = (\tan \alpha) x - \left( \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2 \alpha} \right) x^2$

Полученное уравнение является уравнением вида $y = ax - bx^2$, где $a = \tan \alpha$ и $b = \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2 \alpha}$ – постоянные величины для конкретного броска. Это каноническое уравнение параболы, ветви которой направлены вниз (т.к. коэффициент при $x^2$ отрицателен).

Ответ: Тело, брошенное под углом к горизонту, при отсутствии сопротивления воздуха движется по параболической траектории.