Номер 3, страница 109 - гдз по физике 9 класс учебник Громов, Родина

Глава 3. Гравитационные явления. Параграф 25. Движение тела, брошенного под углом к горизонту. Вопросы - номер 3, страница 109.

Условие.

3. Под каким углом к горизонту следует бросить с земли мяч, чтобы дальность его полёта оказалась максимальной?

Решение.

3. Чтобы определить, под каким углом к горизонту следует бросить мяч для достижения максимальной дальности полета, необходимо вывести зависимость дальности полета от угла броска и найти, при каком значении угла эта зависимость достигает своего максимума. В данной модели мы пренебрегаем сопротивлением воздуха.

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, является сложным и его можно разложить на два независимых движения: равномерное движение вдоль горизонтальной оси (ось Ox) и равноускоренное движение вдоль вертикальной оси (ось Oy) с ускорением свободного падения $\text{g}$, направленным вниз.

Дано:

$v_0$ - начальная скорость мяча.
$\alpha$ - угол броска к горизонту.
$\text{g}$ - ускорение свободного падения.

Найти:

Угол $\alpha$, при котором дальность полета $\text{L}$ будет максимальной ($L \to max$).

Решение:

1. Сначала разложим вектор начальной скорости $v_0$ на его горизонтальную ($v_{0x}$) и вертикальную ($v_{0y}$) составляющие:
$v_{0x} = v_0 \cos(\alpha)$
$v_{0y} = v_0 \sin(\alpha)$

2. Запишем уравнения движения для координат $\text{x}$ (горизонтальная) и $\text{y}$ (вертикальная) как функции времени $\text{t}$:
Движение по оси Ox является равномерным, так как в горизонтальном направлении силы не действуют:
$x(t) = v_{0x} t = v_0 \cos(\alpha) t$
Движение по оси Oy является равноускоренным с ускорением $-g$:
$y(t) = v_{0y} t - \frac{gt^2}{2} = v_0 \sin(\alpha) t - \frac{gt^2}{2}$

3. Дальность полета — это расстояние по горизонтали, которое пролетит мяч за все время полета. Найдем полное время полета $\text{T}$. Полет заканчивается, когда мяч возвращается на землю, то есть при $y(T) = 0$.
$v_0 \sin(\alpha) T - \frac{gT^2}{2} = 0$
Вынесем $\text{T}$ за скобки:
$T (v_0 \sin(\alpha) - \frac{gT}{2}) = 0$
Это уравнение имеет два корня: $T_1 = 0$ (момент начала полета) и $T_2$, который находится из условия $v_0 \sin(\alpha) - \frac{gT_2}{2} = 0$.
Отсюда полное время полета:
$T = \frac{2 v_0 \sin(\alpha)}{g}$

4. Теперь можем найти дальность полета $\text{L}$, подставив полное время полета $\text{T}$ в уравнение для координаты $\text{x}$:
$L = x(T) = v_0 \cos(\alpha) T = v_0 \cos(\alpha) \left( \frac{2 v_0 \sin(\alpha)}{g} \right)$
$L = \frac{v_0^2 (2 \sin(\alpha) \cos(\alpha))}{g}$
Используя тригонометрическую формулу синуса двойного угла $2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) = \sin(2\alpha)$, получаем итоговую формулу для дальности полета:
$L(\alpha) = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

5. Для нахождения максимальной дальности полета $L_{max}$ при фиксированной начальной скорости $v_0$, необходимо найти, при каком угле $\alpha$ функция $L(\alpha)$ принимает максимальное значение. Величина дроби будет максимальной, когда ее числитель максимален, так как знаменатель $\text{g}$ является константой. Значение $v_0^2$ также является константой. Следовательно, нам нужно максимизировать значение $\sin(2\alpha)$.
Максимальное значение функции синус равно 1.
$\sin(2\alpha) = 1$
Это равенство достигается, когда аргумент синуса равен $90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан).
$2\alpha = 90^\circ$
$\alpha = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$

Таким образом, для достижения максимальной дальности полета тело нужно бросать под углом $45^\circ$ к горизонту.

Ответ: Чтобы дальность его полёта оказалась максимальной, мяч следует бросить с земли под углом $45^{\circ}$ к горизонту.