Номер 8, страница 90 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Контрольные работы. КР-1. Прямолинейное равноускоренное движение. Вариант 1 - номер 8, страница 90.

Условие.

8. Во время гонки преследования один велосипедист стартовал на 20 с позже другого. Через какое время после старта первого велосипедиста расстояние между ними будет 240 м, если они двигались с одинаковым ускорением $0,4 \text{ м/с}^2$?

Решение.

Дано:

Разница во времени старта, $Δt = 20$ с

Расстояние между велосипедистами, $S = 240$ м

Ускорение велосипедистов, $a = 0,4$ м/с²

Начальная скорость велосипедистов, $v₀ = 0$ м/с

Найти:

Время после старта первого велосипедиста, $t_1$ - ?

Решение:

Поскольку велосипедисты стартуют из состояния покоя, их движение является равноускоренным без начальной скорости. Путь, пройденный телом при таком движении, определяется по формуле:

$s = \frac{at^2}{2}$

Пусть $t_1$ — время движения первого велосипедиста. Тогда путь, который он проехал к искомому моменту времени, равен:

$S_1 = \frac{at_1^2}{2}$

Второй велосипедист стартовал на $Δt = 20$ с позже, поэтому его время движения $t_2$ в тот же самый момент времени будет меньше на $Δt$:

$t_2 = t_1 - Δt$

Путь, пройденный вторым велосипедистом за время $t_2$, равен:

$S_2 = \frac{at_2^2}{2} = \frac{a(t_1 - Δt)^2}{2}$

Расстояние между велосипедистами $\text{S}$ равно разности путей, которые они проехали, так как первый велосипедист находится впереди:

$S = S_1 - S_2$

Подставим выражения для $S_1$ и $S_2$ в это уравнение:

$S = \frac{at_1^2}{2} - \frac{a(t_1 - Δt)^2}{2}$

Вынесем общий множитель $\frac{a}{2}$ за скобки:

$S = \frac{a}{2}(t_1^2 - (t_1 - Δt)^2)$

Для упрощения выражения в скобках воспользуемся формулой разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$S = \frac{a}{2}((t_1 - (t_1 - Δt))(t_1 + (t_1 - Δt)))$

$S = \frac{a}{2}((t_1 - t_1 + Δt)(t_1 + t_1 - Δt))$

$S = \frac{a}{2}(Δt(2t_1 - Δt))$

Теперь выразим из этого уравнения искомое время $t_1$:

$\frac{2S}{a} = Δt(2t_1 - Δt)$

$\frac{2S}{aΔt} = 2t_1 - Δt$

$2t_1 = \frac{2S}{aΔt} + Δt$

$t_1 = \frac{S}{aΔt} + \frac{Δt}{2}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$t_1 = \frac{240 \text{ м}}{0,4 \text{ м/с²} \cdot 20 \text{ с}} + \frac{20 \text{ с}}{2} = \frac{240}{8} \text{ с} + 10 \text{ с} = 30 \text{ с} + 10 \text{ с} = 40 \text{ с}$

Ответ: через 40 с после старта первого велосипедиста расстояние между ними будет 240 м.