Номер 6, страница 91 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Контрольные работы. КР-1. Прямолинейное равноускоренное движение. Вариант 2 - номер 6, страница 91.

Условие.

6. Велосипедист и мотоциклист начинают одновременно движение из состояния покоя. Ускорение мотоциклиста в 2 раза больше, чем велосипедиста. Во сколько раз большую скорость разовьёт мотоциклист:

а) за одно и то же время;

б) на одном и том же пути?

Решение.

Дано:

$v_{0в} = 0$ (начальная скорость велосипедиста)

$v_{0м} = 0$ (начальная скорость мотоциклиста)

$a_м = 2 \cdot a_в$ (соотношение ускорений)

Найти:

a) $\frac{v_м}{v_в}$ при $t_м = t_в = t$

б) $\frac{v_м}{v_в}$ при $S_м = S_в = S$

Решение:

Движение велосипедиста и мотоциклиста является равноускоренным, так как они начинают движение из состояния покоя с постоянным ускорением.

а) за одно и то же время;

Скорость тела при равноускоренном движении без начальной скорости ($v_0 = 0$) определяется формулой:

$v = a \cdot t$

Запишем это уравнение для велосипедиста (индекс "в") и мотоциклиста (индекс "м") для одного и того же промежутка времени $\text{t}$:

$v_в = a_в \cdot t$

$v_м = a_м \cdot t$

Чтобы найти, во сколько раз скорость мотоциклиста больше, найдем их отношение:

$\frac{v_м}{v_в} = \frac{a_м \cdot t}{a_в \cdot t}$

Время $\text{t}$ в числителе и знаменателе сокращается:

$\frac{v_м}{v_в} = \frac{a_м}{a_в}$

Используя данное в условии соотношение $a_м = 2 \cdot a_в$, получаем:

$\frac{v_м}{v_в} = \frac{2 \cdot a_в}{a_в} = 2$

Ответ: Скорость мотоциклиста будет в 2 раза больше.

б) на одном и том же пути?

Для нахождения скорости при равноускоренном движении из состояния покоя на заданном пути $\text{S}$ используется формула, связывающая путь, ускорение и конечную скорость:

$S = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}$

Так как $v_0 = 0$, формула принимает вид:

$S = \frac{v^2}{2a}$

Выразим из этой формулы скорость $\text{v}$:

$v^2 = 2aS \implies v = \sqrt{2aS}$

Запишем выражения для скоростей велосипедиста и мотоциклиста после прохождения одинакового пути $\text{S}$:

$v_в = \sqrt{2 \cdot a_в \cdot S}$

$v_м = \sqrt{2 \cdot a_м \cdot S}$

Найдем отношение этих скоростей:

$\frac{v_м}{v_в} = \frac{\sqrt{2 \cdot a_м \cdot S}}{\sqrt{2 \cdot a_в \cdot S}} = \sqrt{\frac{2 \cdot a_м \cdot S}{2 \cdot a_в \cdot S}}$

Величины $\text{2}$ и $\text{S}$ сокращаются под корнем:

$\frac{v_м}{v_в} = \sqrt{\frac{a_м}{a_в}}$

Подставим соотношение ускорений $a_м = 2 \cdot a_в$:

$\frac{v_м}{v_в} = \sqrt{\frac{2 \cdot a_в}{a_в}} = \sqrt{2}$

Ответ: Скорость мотоциклиста будет в $\sqrt{2}$ раз больше (примерно в 1,41 раза).