Номер 7, страница 107 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Контрольные работы. КР-5. Механические колебания и волны. Звук. Вариант 2 - номер 7, страница 107.

Условие.

7. Определите длину математического маятника, который за 10 с совершает на 4 полных колебания меньше, чем математический маятник длиной 60 см.

Решение.

Дано:

$t = 10 \text{ с}$
$l_1 = 60 \text{ см}$
$N_1 - N_2 = 4$

$l_1 = 60 \text{ см} = 0.6 \text{ м}$
$g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

$l_2$

Решение:

Период колебаний математического маятника $\text{T}$ связан с его длиной $\text{l}$ и ускорением свободного падения $\text{g}$ формулой:$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

Период также можно определить как отношение времени колебаний $\text{t}$ к числу полных колебаний $\text{N}$, совершённых за это время:$T = \frac{t}{N}$

Приравняв правые части этих двух выражений, получим связь между числом колебаний и длиной маятника:$\frac{t}{N} = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

Выразим отсюда число колебаний $\text{N}$:$N = \frac{t}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}}$

Запишем это выражение для первого маятника (с длиной $l_1$ и числом колебаний $N_1$) и для второго маятника (с длиной $l_2$ и числом колебаний $N_2$):$N_1 = \frac{t}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l_1}}$$N_2 = \frac{t}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l_2}}$

Согласно условию задачи, разница в числе колебаний составляет 4:$N_1 - N_2 = 4$

Подставим в это уравнение выражения для $N_1$ и $N_2$:$\frac{t}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l_1}} - \frac{t}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l_2}} = 4$

Вынесем общий множитель за скобку:$\frac{t\sqrt{g}}{2\pi} \left( \frac{1}{\sqrt{l_1}} - \frac{1}{\sqrt{l_2}} \right) = 4$

Из этого уравнения нам нужно найти $l_2$. Для этого сначала выразим слагаемое, содержащее $l_2$:$\frac{1}{\sqrt{l_1}} - \frac{1}{\sqrt{l_2}} = \frac{8\pi}{t\sqrt{g}}$
$\frac{1}{\sqrt{l_2}} = \frac{1}{\sqrt{l_1}} - \frac{8\pi}{t\sqrt{g}}$

Теперь подставим числовые значения в систему СИ ($l_1 = 0.6 \text{ м}$, $t = 10 \text{ с}$, $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$, $\pi \approx 3.14$):$\frac{1}{\sqrt{l_2}} = \frac{1}{\sqrt{0.6}} - \frac{8 \times 3.14}{10 \times \sqrt{9.8}}$
$\frac{1}{\sqrt{l_2}} \approx \frac{1}{0.775} - \frac{25.12}{10 \times 3.13} \approx 1.290 - \frac{25.12}{31.3} \approx 1.290 - 0.802 = 0.488 \text{ м}^{-1/2}$

Теперь найдем $l_2$:$\sqrt{l_2} \approx \frac{1}{0.488} \approx 2.049 \text{ м}^{1/2}$
$l_2 = (\sqrt{l_2})^2 \approx (2.049)^2 \text{ м} \approx 4.2 \text{ м}$

Ответ: длина математического маятника составляет примерно 4,2 м.