Номер 8, страница 107 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Контрольные работы. КР-5. Механические колебания и волны. Звук. Вариант 2 - номер 8, страница 107.

Условие.

8. Один математический маятник имеет период колебаний 3 с, а другой — 4 с. Каков период колебаний математического маятника, длина которого равна сумме длин указанных маятников?

Решение.

Дано:

Период колебаний первого математического маятника $T_1 = 3$ с
Период колебаний второго математического маятника $T_2 = 4$ с
Длина третьего маятника $\text{l}$ равна сумме длин первых двух $l = l_1 + l_2$

Найти:

Период колебаний третьего маятника $\text{T}$

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется по формуле:
$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$
где $\text{l}$ — длина нити маятника, а $\text{g}$ — ускорение свободного падения.

Из этой формулы выразим длину маятника $\text{l}$. Для этого сначала возведём обе части уравнения в квадрат:
$T^2 = (2\pi)^2 \frac{l}{g} = 4\pi^2 \frac{l}{g}$
Теперь выразим длину $\text{l}$:
$l = \frac{T^2 g}{4\pi^2}$

Используя эту зависимость, запишем выражения для длин первого и второго маятников:
$l_1 = \frac{T_1^2 g}{4\pi^2}$
$l_2 = \frac{T_2^2 g}{4\pi^2}$

По условию задачи, длина третьего маятника $\text{l}$ равна сумме длин $l_1$ и $l_2$:
$l = l_1 + l_2 = \frac{T_1^2 g}{4\pi^2} + \frac{T_2^2 g}{4\pi^2}$
Вынесем общий множитель за скобки:
$l = \frac{g}{4\pi^2}(T_1^2 + T_2^2)$

Теперь можем найти период колебаний $\text{T}$ третьего маятника, подставив полученное выражение для его длины $\text{l}$ в исходную формулу периода:
$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{\frac{g}{4\pi^2}(T_1^2 + T_2^2)}{g}}$

Упростим выражение под корнем, сократив $\text{g}$ в числителе и знаменателе:
$T = 2\pi\sqrt{\frac{T_1^2 + T_2^2}{4\pi^2}}$

Вынесем $4\pi^2$ из-под знака корня:
$T = 2\pi\frac{\sqrt{T_1^2 + T_2^2}}{\sqrt{4\pi^2}} = 2\pi\frac{\sqrt{T_1^2 + T_2^2}}{2\pi}$

Сократив $2\pi$, получаем окончательную формулу для периода третьего маятника:
$T = \sqrt{T_1^2 + T_2^2}$

Подставим числовые значения $T_1$ и $T_2$:
$T = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ с.

Ответ: 5 с.