Номер 2, страница 16 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Тренировочные задания. ТЗ-6. Свободное падение тел - номер 2, страница 16.

Условие.

2. С вертолёта, находящегося на высоте 300 м, сбросили груз. Через какое время груз упадёт на землю, если вертолёт:

а) неподвижен;

б) поднимается равномерно со скоростью 5 м/с;

в) равномерно опускается со скоростью 5 м/с?

Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение.

Дано:

Высота вертолёта: $h = 300$ м
Скорость подъема вертолёта: $v_б = 5$ м/с
Скорость опускания вертолёта: $v_в = 5$ м/с
Ускорение свободного падения: $g \approx 10$ м/с$^2$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Время падения груза в случае а): $t_а$ - ?
Время падения груза в случае б): $t_б$ - ?
Время падения груза в случае в): $t_в$ - ?

Решение:

Для решения задачи используем уравнение движения тела в поле силы тяжести. Выберем систему отсчета, связанную с Землей. Направим ось OY вертикально вверх, а начало отсчета ($y=0$) расположим на поверхности земли.

Общее уравнение движения для координаты $\text{y}$ груза имеет вид:$y(t) = y_0 + v_{0y}t + \frac{g_y t^2}{2}$

В нашей системе отсчета начальная высота $y_0 = h = 300$ м. Начальная скорость $v_{0y}$ равна скорости вертолета в момент сброса груза. Проекция ускорения свободного падения на ось OY отрицательна: $g_y = -g$.

В момент падения на землю координата груза будет равна нулю: $y(t) = 0$. Подставив все значения в уравнение, получаем:$0 = h + v_{0y}t - \frac{gt^2}{2}$

Это уравнение мы будем решать для каждого из трех случаев, чтобы найти время падения $\text{t}$.

а) неподвижен;

Если вертолет неподвижен, то начальная скорость сброшенного груза равна нулю: $v_{0y} = 0$.

Уравнение движения упрощается:$0 = h - \frac{gt^2}{2}$

Выразим из этого уравнения время $\text{t}$:$\frac{gt^2}{2} = h \implies t^2 = \frac{2h}{g} \implies t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Подставим числовые значения:$t_а = \sqrt{\frac{2 \cdot 300 \text{ м}}{10 \text{ м/с}^2}} = \sqrt{60 \text{ с}^2} \approx 7.75$ с.

Ответ: время падения груза, если вертолет неподвижен, составляет примерно $7.75$ с.

б) поднимается равномерно со скоростью 5 м/с;

Если вертолет поднимается, то груз в начальный момент времени имеет скорость, направленную вверх: $v_{0y} = 5$ м/с.

Решаем уравнение $0 = h + v_{0y}t - \frac{gt^2}{2}$, которое можно переписать в виде квадратного уравнения:$\frac{g}{2}t^2 - v_{0y}t - h = 0$

Подставляем значения:$\frac{10}{2}t^2 - 5t - 300 = 0$$5t^2 - 5t - 300 = 0$

Разделим обе части уравнения на 5:$t^2 - t - 60 = 0$

Находим корни через дискриминант:$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 1 + 240 = 241$$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{241}}{2}$

Поскольку время не может быть отрицательным, выбираем положительный корень:$t_б = \frac{1 + \sqrt{241}}{2} \approx \frac{1 + 15.52}{2} \approx \frac{16.52}{2} \approx 8.26$ с.

Ответ: время падения груза, если вертолет поднимается, составляет примерно $8.26$ с.

в) равномерно опускается со скоростью 5 м/с?

Если вертолет опускается, то груз в начальный момент времени имеет скорость, направленную вниз: $v_{0y} = -5$ м/с.

Снова решаем квадратное уравнение:$\frac{g}{2}t^2 - v_{0y}t - h = 0$

Подставляем значения:$\frac{10}{2}t^2 - (-5)t - 300 = 0$$5t^2 + 5t - 300 = 0$

Разделим обе части уравнения на 5:$t^2 + t - 60 = 0$

Находим корни через дискриминант:$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 1 + 240 = 241$$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{241}}{2}$

Выбираем положительный корень, так как время не может быть отрицательным:$t_в = \frac{-1 + \sqrt{241}}{2} \approx \frac{-1 + 15.52}{2} \approx \frac{14.52}{2} \approx 7.26$ с.

Ответ: время падения груза, если вертолет опускается, составляет примерно $7.26$ с.