Номер 5, страница 16 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Тренировочные задания. ТЗ-6. Свободное падение тел - номер 5, страница 16.

Условие.

5. Тело брошено вертикально вверх со скоростью 20 м/с. Постройте график зависимости скорости движения данного тела от времени. Через какое время тело упадёт на землю? Какой путь оно при этом пройдёт?

Решение.

Дано:

Начальная скорость тела, $v_0 = 20$ м/с.

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с².

Все данные приведены в системе СИ.

Найти:

1. График зависимости скорости от времени $v(t)$.

2. Время полета тела $\text{T}$.

3. Пройденный телом путь $\text{S}$.

Решение:

Движение тела, брошенного вертикально вверх, является равноускоренным. Выберем ось OY, направленную вертикально вверх, а начало отсчета поместим в точку броска (на поверхности земли). В этом случае ускорение тела равно $a = -g$.

Зависимость скорости тела от времени описывается уравнением:

$v(t) = v_0 + at = v_0 - gt$

Подставив известные значения, получим уравнение для скорости:

$v(t) = 20 - 10t$

Зависимость высоты (координаты) тела от времени описывается уравнением:

$y(t) = v_0t + \frac{at^2}{2} = v_0t - \frac{gt^2}{2}$

Подставив значения, получим уравнение для высоты:

$y(t) = 20t - 5t^2$

Постройте график зависимости скорости движения данного тела от времени.

Уравнение $v(t) = 20 - 10t$ является линейной функцией, поэтому ее график — это прямая линия. Для построения графика найдем две ключевые точки.

1. В начальный момент времени $t=0$:

$v(0) = 20 - 10 \cdot 0 = 20$ м/с. (Точка $(0; 20)$)

2. В момент достижения максимальной высоты скорость тела равна нулю. Найдем это время $t_{подъема}$:

$v(t_{подъема}) = 0 \implies 20 - 10t_{подъема} = 0 \implies t_{подъема} = 2$ с. (Точка $(2; 0)$)

Из-за симметрии движения время полета $\text{T}$ будет вдвое больше времени подъема, $T = 2 \cdot t_{подъема} = 4$ с. Найдем скорость в момент падения на землю при $t=4$ с:

$v(4) = 20 - 10 \cdot 4 = -20$ м/с. (Точка $(4; -20)$)

Таким образом, график представляет собой отрезок прямой, проходящий через точки $(0; 20)$, $(2; 0)$ и $(4; -20)$.

Ответ: График зависимости скорости от времени представлен выше. Это отрезок прямой, описываемый уравнением $v(t) = 20 - 10t$ для $t \in [0, 4]$.

Через какое время тело упадет на землю?

Тело упадет на землю в момент времени $\text{T}$, когда его высота $y(T)$ станет равной нулю. Используем уравнение для высоты:

$y(T) = 20T - 5T^2 = 0$

Вынесем общий множитель за скобки:

$5T(4 - T) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $T_1 = 0$ с (начальный момент броска) и $T_2 = 4$ с. Второй корень соответствует моменту падения тела на землю.

Ответ: Тело упадет на землю через $\text{4}$ с.

Какой путь оно при этом пройдет?

Общий пройденный путь $\text{S}$ равен сумме пути, пройденного при подъеме ($S_{подъема}$), и пути, пройденного при падении ($S_{падения}$).

Путь при подъеме равен максимальной высоте подъема $h_{max}$. Мы знаем, что время подъема $t_{подъема} = 2$ с. Подставим это время в уравнение для высоты:

$S_{подъема} = h_{max} = y(2) = 20 \cdot 2 - 5 \cdot 2^2 = 40 - 20 = 20$ м.

Поскольку движение симметрично (без учета сопротивления воздуха), путь при падении равен пути при подъеме: $S_{падения} = S_{подъема} = 20$ м.

Тогда общий путь равен:

$S = S_{подъема} + S_{падения} = 20 + 20 = 40$ м.

Этот же результат можно получить, вычислив площадь под графиком модуля скорости. На графике $v(t)$ это сумма площадей двух треугольников:

$S = \frac{1}{2} \cdot |v(0)| \cdot t_{подъема} + \frac{1}{2} \cdot |v(4)| \cdot (T - t_{подъема}) = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot |-20| \cdot (4 - 2) = 20 + 20 = 40$ м.

Ответ: Тело пройдет путь $\text{40}$ м.