Номер 8, страница 17 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Тренировочные задания. ТЗ-6. Свободное падение тел - номер 8, страница 17.

Условие.

8. Тело, брошенное вертикально вверх с поверхности земли со скоростью 30 м/с, дважды побывало на высоте 40 м. Какой промежуток времени разделяет эти два события?

Решение.

Дано:

Начальная скорость: $v_0 = 30$ м/с

Высота: $h = 40$ м

Ускорение свободного падения: $g \approx 10$ м/с²

Найти:

Промежуток времени: $\Delta t$ - ?

Решение:

Движение тела, брошенного вертикально вверх, является равноускоренным. Выберем систему отсчета, связанную с поверхностью земли, с осью OY, направленной вертикально вверх. В этом случае зависимость высоты тела $\text{h}$ от времени полета $\text{t}$ описывается кинематическим уравнением:

$h(t) = v_0 t - \frac{g t^2}{2}$

Подставим в это уравнение известные значения, чтобы найти моменты времени, когда тело находилось на высоте 40 м. Примем значение ускорения свободного падения $\text{g}$ равным 10 м/с².

$40 = 30 \cdot t - \frac{10 \cdot t^2}{2}$

Упростим выражение:

$40 = 30t - 5t^2$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$5t^2 - 30t + 40 = 0$

Разделим обе части уравнения на 5 для упрощения:

$t^2 - 6t + 8 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Его корни можно найти, например, с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Этим условиям удовлетворяют числа 2 и 4.

Таким образом, мы получили два момента времени:

$t_1 = 2$ с

$t_2 = 4$ с

Первый, меньший корень $t_1 = 2$ с, соответствует моменту, когда тело достигло высоты 40 м при движении вверх. Второй, больший корень $t_2 = 4$ с, соответствует моменту, когда тело, достигнув максимальной высоты подъема и начав падать, снова оказалось на высоте 40 м.

Промежуток времени, разделяющий эти два события, равен разности между этими моментами времени:

$\Delta t = t_2 - t_1 = 4 \text{ с} - 2 \text{ с} = 2 \text{ с}$

Убедимся, что тело могло достичь указанной высоты. Максимальная высота подъема $H_{max}$ вычисляется по формуле $H_{max} = \frac{v_0^2}{2g}$:

$H_{max} = \frac{(30)^2}{2 \cdot 10} = \frac{900}{20} = 45 \text{ м}$

Поскольку $H_{max} = 45$ м, что больше 40 м, тело действительно дважды побывало на заданной высоте.

Ответ: промежуток времени, который разделяет эти два события, равен 2 с.