Номер 9, страница 17 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Тренировочные задания. ТЗ-6. Свободное падение тел - номер 9, страница 17.

Условие.

9. Тело брошено с высоты 38 м вертикально вверх с начальной скоростью 9 м/с. Какой путь пройдёт тело за последнюю секунду падения?

Решение.

Дано:

Начальная высота: $h_0 = 38$ м

Начальная скорость: $v_0 = 9$ м/с

Ускорение свободного падения: $g \approx 10$ м/с²

Найти:

Путь, пройденный телом за последнюю секунду падения: $S_{посл}$

Решение:

Для решения задачи выберем систему отсчета, в которой начало координат ($y=0$) находится на поверхности земли, а ось OY направлена вертикально вверх. В этой системе отсчета начальная координата тела $y_0 = h_0 = 38$ м, проекция начальной скорости на ось OY положительна, $v_{0y} = v_0 = 9$ м/с, а проекция ускорения свободного падения отрицательна, $a_y = -g = -10$ м/с².

Запишем уравнение движения тела (зависимость координаты от времени):

$y(t) = y_0 + v_{0y}t + \frac{a_y t^2}{2}$

Подставим наши значения:

$y(t) = 38 + 9t - \frac{10t^2}{2} = 38 + 9t - 5t^2$

Сначала найдем общее время полета тела до момента его падения на землю. В этот момент координата тела будет равна нулю, $y(t_{общ}) = 0$.

$38 + 9t_{общ} - 5t_{общ}^2 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Запишем его в стандартном виде и решим:

$5t_{общ}^2 - 9t_{общ} - 38 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-38) = 81 + 760 = 841$

Найдем корни уравнения, учитывая, что время не может быть отрицательным:

$t_{общ} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{841}}{2 \cdot 5} = \frac{9 + 29}{10} = \frac{38}{10} = 3.8$ с.

Итак, общее время полета тела составляет 3.8 секунды.

Последняя секунда падения соответствует временному интервалу от $t_1 = t_{общ} - 1$ с до $t_2 = t_{общ}$.

$t_1 = 3.8 - 1 = 2.8$ с.

$t_2 = 3.8$ с.

Чтобы найти путь, пройденный за этот интервал, нужно найти разность высот (координат) тела в эти моменты времени. Найдем высоту тела в момент времени $t_1 = 2.8$ с:

$y(2.8) = 38 + 9 \cdot 2.8 - 5 \cdot (2.8)^2 = 38 + 25.2 - 5 \cdot 7.84 = 63.2 - 39.2 = 24$ м.

В момент времени $t_2 = 3.8$ с тело находится на земле, его высота $y(3.8) = 0$ м.

Следовательно, путь, пройденный за последнюю секунду, равен:

$S_{посл} = y(2.8) - y(3.8) = 24 - 0 = 24$ м.

Ответ: 24 м.