Номер 6, страница 17 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Тренировочные задания. ТЗ-7. Закон всемирного тяготения. Движение тела по окружности. Искусственные спутники Земли - номер 6, страница 17.

Условие.

6. Космическая станция запущена на Луну. Определите, на каком расстоянии от центра Земли станция будет притягиваться Землёй и Луной с одинаковой силой. Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а расстояние между их центрами равно 60 земным радиусам.

Решение.

Дано:

$M_З = 81 M_Л$

$R = 60 R_З$

Найти:

$\text{x}$ — расстояние от центра Земли, на котором силы притяжения равны.

Решение:

Пусть $\text{m}$ — масса космической станции, $M_З$ — масса Земли, а $M_Л$ — масса Луны. Точка, в которой силы притяжения со стороны Земли и Луны уравновешиваются, находится на прямой, соединяющей их центры.

Обозначим искомое расстояние от центра Земли до станции как $\text{x}$. Тогда расстояние от станции до центра Луны будет равно $R-x$, где $\text{R}$ — расстояние между центрами Земли и Луны.

Согласно закону всемирного тяготения, сила притяжения станции к Земле ($F_З$) и к Луне ($F_Л$) выражаются формулами:

$F_З = G \frac{M_З m}{x^2}$

$F_Л = G \frac{M_Л m}{(R-x)^2}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная.

По условию задачи, эти силы должны быть равны:

$F_З = F_Л$

$G \frac{M_З m}{x^2} = G \frac{M_Л m}{(R-x)^2}$

Сократим одинаковые множители $\text{G}$ и $\text{m}$ в обеих частях уравнения:

$\frac{M_З}{x^2} = \frac{M_Л}{(R-x)^2}$

Из условия задачи мы знаем, что масса Земли в 81 раз больше массы Луны, то есть $M_З = 81 M_Л$. Подставим это соотношение в уравнение:

$\frac{81 M_Л}{x^2} = \frac{M_Л}{(R-x)^2}$

Сократим массу Луны $M_Л$:

$\frac{81}{x^2} = \frac{1}{(R-x)^2}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как расстояния являются положительными величинами, мы рассматриваем только положительные значения корней:

$\sqrt{\frac{81}{x^2}} = \sqrt{\frac{1}{(R-x)^2}}$

$\frac{9}{x} = \frac{1}{R-x}$

Решим полученное уравнение относительно $\text{x}$:

$9(R-x) = x$

$9R - 9x = x$

$9R = 10x$

$x = \frac{9}{10}R$

Теперь подставим значение расстояния между центрами Земли и Луны, которое по условию равно 60 земным радиусам ($R = 60 R_З$):

$x = \frac{9}{10} \cdot (60 R_З) = 9 \cdot 6 R_З = 54 R_З$

Ответ: станция будет притягиваться Землёй и Луной с одинаковой силой на расстоянии 54 земных радиусов от центра Земли.