Номер 2, страница 17 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Тренировочные задания. ТЗ-7. Закон всемирного тяготения. Движение тела по окружности. Искусственные спутники Земли - номер 2, страница 17.

Условие.

2. a) Космический корабль поднялся на высоту, равную радиусу Земли. Во сколько раз при этом уменьшилась сила его притяжения к Земле?

б) На каком расстоянии от поверхности Земли сила притяжения космического корабля к ней станет в 36 раз меньше, чем на поверхности Земли?

Решение.

а) Космический корабль поднялся на высоту, равную радиусу Земли. Во сколько раз при этом уменьшилась сила его притяжения к Земле?

Дано:

Высота подъема корабля $h = R_З$, где $R_З$ - радиус Земли.

Найти:

$\frac{F_1}{F_2}$ - ? (отношение начальной силы притяжения к конечной)

Решение:

Сила всемирного тяготения, действующая на тело, определяется по закону всемирного тяготения Ньютона:

$F = G \frac{M m}{r^2}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $\text{M}$ — масса Земли, $\text{m}$ — масса космического корабля, $\text{r}$ — расстояние между центрами масс Земли и корабля.

1. На поверхности Земли расстояние от ее центра до корабля $r_1$ равно радиусу Земли $R_З$. Сила притяжения $F_1$ на поверхности равна:

$F_1 = G \frac{M m}{R_З^2}$

2. Корабль поднялся на высоту $h = R_З$ над поверхностью Земли. Новое расстояние $r_2$ от центра Земли до корабля будет равно сумме радиуса Земли и высоты подъема:

$r_2 = R_З + h = R_З + R_З = 2R_З$

3. Сила притяжения $F_2$ на этой высоте равна:

$F_2 = G \frac{M m}{r_2^2} = G \frac{M m}{(2R_З)^2} = G \frac{M m}{4R_З^2}$

4. Чтобы найти, во сколько раз уменьшилась сила притяжения, найдем отношение силы на поверхности $F_1$ к силе на высоте $F_2$:

$\frac{F_1}{F_2} = \frac{G \frac{M m}{R_З^2}}{G \frac{M m}{4R_З^2}} = \frac{1}{R_З^2} \cdot \frac{4R_З^2}{1} = 4$

Таким образом, сила притяжения уменьшилась в 4 раза.

Ответ: сила притяжения космического корабля к Земле уменьшилась в 4 раза.

б) На каком расстоянии от поверхности Земли сила притяжения космического корабля к ней станет в 36 раз меньше, чем на поверхности Земли?

Дано:

Сила притяжения уменьшилась в 36 раз, то есть $\frac{F_1}{F_2} = 36$.

Найти:

$\text{h}$ - ? (расстояние от поверхности Земли)

Решение:

Снова воспользуемся законом всемирного тяготения.

1. Сила притяжения на поверхности Земли (расстояние от центра $r_1 = R_З$) равна:

$F_1 = G \frac{M m}{R_З^2}$

2. Сила притяжения на искомой высоте $\text{h}$ над поверхностью (расстояние от центра $r_2 = R_З + h$) равна:

$F_2 = G \frac{M m}{(R_З+h)^2}$

3. Из условия задачи известно, что сила на поверхности в 36 раз больше силы на высоте $\text{h}$. Составим отношение сил:

$\frac{F_1}{F_2} = \frac{G \frac{M m}{R_З^2}}{G \frac{M m}{(R_З+h)^2}} = \frac{(R_З+h)^2}{R_З^2}$

4. Подставим известное значение отношения и решим полученное уравнение относительно высоты $\text{h}$:

$\frac{(R_З+h)^2}{R_З^2} = 36$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\frac{R_З+h}{R_З} = \sqrt{36}$

$\frac{R_З+h}{R_З} = 6$

Теперь выразим $\text{h}$:

$R_З+h = 6R_З$

$h = 6R_З - R_З = 5R_З$

Следовательно, на расстоянии пяти радиусов Земли от ее поверхности сила притяжения уменьшится в 36 раз.

Ответ: на расстоянии, равном пяти радиусам Земли ($5R_З$), от ее поверхности.