Номер 5, страница 17 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Тренировочные задания. ТЗ-7. Закон всемирного тяготения. Движение тела по окружности. Искусственные спутники Земли - номер 5, страница 17.

Условие.

5. На каком расстоянии от поверхности Земли ускорение свободного падения равно $1 \text{ м/с}^2$?

Решение.

Дано:

$g_h = 1$ м/с²

Для решения задачи нам также понадобятся справочные данные:

Ускорение свободного падения на поверхности Земли: $g_0 \approx 9.8$ м/с²

Средний радиус Земли: $R_З \approx 6400$ км

$R_З = 6400 \text{ км} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

$\text{h}$ — расстояние от поверхности Земли.

Решение:

Ускорение свободного падения, создаваемое Землей, зависит от расстояния до ее центра и определяется законом всемирного тяготения. На поверхности Земли (на расстоянии $R_З$ от центра) оно равно:

$g_0 = \frac{GM}{R_З^2}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $\text{M}$ — масса Земли, $R_З$ — радиус Земли.

На высоте $\text{h}$ от поверхности Земли расстояние до центра составит $R_З + h$. Ускорение свободного падения на этой высоте ($g_h$) будет равно:

$g_h = \frac{GM}{(R_З+h)^2}$

Чтобы найти искомую высоту $\text{h}$, разделим второе уравнение на первое. Это позволит нам избавиться от неизвестных величин $\text{G}$ и $\text{M}$:

$\frac{g_h}{g_0} = \frac{GM / (R_З+h)^2}{GM / R_З^2} = \frac{R_З^2}{(R_З+h)^2}$

Выразим из этого соотношения высоту $\text{h}$. Сначала извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\sqrt{\frac{g_h}{g_0}} = \frac{R_З}{R_З+h}$

Теперь выразим $R_З+h$:

$R_З+h = R_З \cdot \sqrt{\frac{g_0}{g_h}}$

И, наконец, найдем $\text{h}$:

$h = R_З \cdot \sqrt{\frac{g_0}{g_h}} - R_З = R_З \left( \sqrt{\frac{g_0}{g_h}} - 1 \right)$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$h = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м} \cdot \left( \sqrt{\frac{9.8 \text{ м/с}^2}{1 \text{ м/с}^2}} - 1 \right) \approx 6.4 \cdot 10^6 \cdot (\sqrt{9.8} - 1)$

$h \approx 6.4 \cdot 10^6 \cdot (3.13 - 1) = 6.4 \cdot 10^6 \cdot 2.13 = 13.632 \cdot 10^6 \text{ м}$

Переведем результат в километры:

$h = 13.632 \cdot 10^6 \text{ м} = 13632 \text{ км}$

Ответ: $13632$ км.