Номер 12, страница 18 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Тренировочные задания. ТЗ-7. Закон всемирного тяготения. Движение тела по окружности. Искусственные спутники Земли - номер 12, страница 18.

Условие.

12. а) Какую скорость нужно сообщить искусственному спутнику Земли, чтобы он двигался вокруг неё по круговой орбите на высоте 630 км? Масса Земли $6 \cdot 10^{24}$ кг, а её радиус 6400 км.

б) Какую скорость нужно сообщить искусственному спутнику Луны, чтобы он двигался вокруг неё по круговой орбите на высоте 100 км? Масса Луны $7,3 \cdot 10^{22}$ кг, а её радиус $1,7 \cdot 10^{6}$ м.

Решение.

а)

Дано:

Высота орбиты $h_З = 630 \text{ км}$
Масса Земли $M_З = 6 \cdot 10^{24} \text{ кг}$
Радиус Земли $R_З = 6400 \text{ км}$
Гравитационная постоянная $G \approx 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

Перевод в СИ:
$h_З = 630 \text{ км} = 630 \cdot 10^3 \text{ м} = 6,3 \cdot 10^5 \text{ м}$
$R_З = 6400 \text{ км} = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Скорость спутника $v_З$

Решение:

Для движения спутника по круговой орбите сила всемирного тяготения, действующая на него со стороны Земли, должна быть равна центростремительной силе. Это условие обеспечивает удержание спутника на орбите.
Сила тяготения: $F_т = G \frac{M_З m}{r^2}$, где $\text{m}$ — масса спутника, а $\text{r}$ — радиус орбиты.
Центростремительная сила: $F_ц = \frac{m v_З^2}{r}$.
Приравниваем силы: $G \frac{M_З m}{r^2} = \frac{m v_З^2}{r}$.
Сократив массу спутника $\text{m}$ и радиус $\text{r}$, получим формулу для первой космической скорости на высоте $h_З$:
$v_З = \sqrt{\frac{G M_З}{r}}$
Радиус орбиты $\text{r}$ равен сумме радиуса Земли $R_З$ и высоты орбиты $h_З$:
$r = R_З + h_З = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м} + 6,3 \cdot 10^5 \text{ м} = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м} + 0,63 \cdot 10^6 \text{ м} = 7,03 \cdot 10^6 \text{ м}$.
Подставим числовые значения в формулу для скорости:
$v_З = \sqrt{\frac{6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot 6 \cdot 10^{24} \text{ кг}}{7,03 \cdot 10^6 \text{ м}}} = \sqrt{\frac{40,02 \cdot 10^{13}}{7,03 \cdot 10^6}} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx \sqrt{5,69 \cdot 10^7} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 7545 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.
Округлим результат до десятых: $v_З \approx 7,5 \text{ км/с}$.

Ответ: чтобы спутник двигался по круговой орбите на высоте 630 км, ему нужно сообщить скорость примерно 7,5 км/с.

б)

Дано:

Высота орбиты $h_Л = 100 \text{ км}$
Масса Луны $M_Л = 7,3 \cdot 10^{22} \text{ кг}$
Радиус Луны $R_Л = 1,7 \cdot 10^6 \text{ м}$
Гравитационная постоянная $G \approx 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

Перевод в СИ:
$h_Л = 100 \text{ км} = 100 \cdot 10^3 \text{ м} = 1 \cdot 10^5 \text{ м}$
(Остальные данные уже в СИ)

Найти:

Скорость спутника $v_Л$

Решение:

Аналогично предыдущему пункту, используем формулу для орбитальной скорости:
$v_Л = \sqrt{\frac{G M_Л}{r}}$
Радиус орбиты $\text{r}$ равен сумме радиуса Луны $R_Л$ и высоты орбиты $h_Л$:
$r = R_Л + h_Л = 1,7 \cdot 10^6 \text{ м} + 1 \cdot 10^5 \text{ м} = 1,7 \cdot 10^6 \text{ м} + 0,1 \cdot 10^6 \text{ м} = 1,8 \cdot 10^6 \text{ м}$.
Подставим числовые значения в формулу для скорости:
$v_Л = \sqrt{\frac{6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot 7,3 \cdot 10^{22} \text{ кг}}{1,8 \cdot 10^6 \text{ м}}} = \sqrt{\frac{48,691 \cdot 10^{11}}{1,8 \cdot 10^6}} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx \sqrt{27,05 \cdot 10^5} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 1645 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.
Округлим результат до десятых: $v_Л \approx 1,6 \text{ км/с}$.

Ответ: чтобы спутник двигался по круговой орбите вокруг Луны на высоте 100 км, ему нужно сообщить скорость примерно 1,6 км/с.