Номер 15, страница 18 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Тренировочные задания. ТЗ-7. Закон всемирного тяготения. Движение тела по окружности. Искусственные спутники Земли - номер 15, страница 18.

Условие.

15. Вблизи планеты, радиус которой 4000 км, первая космическая скорость равна 4 км/с. Определите ускорение свободного падения на поверхности этой планеты.

Решение.

Дано:

$R = 4000$ км

$v_1 = 4$ км/с

Перевод в систему СИ:

$R = 4000 \cdot 10^3 \text{ м} = 4 \cdot 10^6 \text{ м}$

$v_1 = 4 \cdot 10^3 \text{ м/с}$

Найти:

$\text{g}$ - ?

Решение:

Первая космическая скорость $v_1$ — это скорость, которую необходимо придать телу, чтобы оно двигалось по круговой орбите вблизи поверхности планеты. Движение по такой орбите происходит под действием силы тяготения, которая сообщает телу центростремительное ускорение.

Согласно второму закону Ньютона:

$F_{ц} = F_{грав}$

Центростремительная сила, действующая на тело массой $\text{m}$, равна $F_ц = \frac{mv_1^2}{R}$, а гравитационная сила равна $F_{грав} = G\frac{Mm}{R^2}$, где $\text{M}$ — масса планеты, $\text{R}$ — её радиус, $\text{G}$ — гравитационная постоянная.

Приравняем эти силы:

$\frac{mv_1^2}{R} = G\frac{Mm}{R^2}$

Сократив массу тела $\text{m}$ и радиус $\text{R}$, получим выражение для первой космической скорости:

$v_1^2 = G\frac{M}{R}$

Ускорение свободного падения $\text{g}$ на поверхности планеты определяется формулой:

$g = G\frac{M}{R^2}$

Мы можем выразить $\text{g}$ через $v_1$ и $\text{R}$. Для этого перепишем формулу для $\text{g}$ следующим образом:

$g = \frac{1}{R} \cdot (G\frac{M}{R})$

Заменим выражение в скобках на $v_1^2$:

$g = \frac{v_1^2}{R}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу:

$g = \frac{(4 \cdot 10^3 \text{ м/с})^2}{4 \cdot 10^6 \text{ м}} = \frac{16 \cdot 10^6 \text{ м}^2/\text{с}^2}{4 \cdot 10^6 \text{ м}} = 4 \text{ м/с}^2$

Ответ: $4 \text{ м/с}^2$.