Номер 13, страница 18 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Тренировочные задания. ТЗ-7. Закон всемирного тяготения. Движение тела по окружности. Искусственные спутники Земли - номер 13, страница 18.

Условие.

13. Два спутника вращаются вокруг Земли по круговым орбитам на расстоянии 7600 и 600 км от её поверхности. Определите отношение скорости первого спутника к скорости второго.

Решение.

Дано:

$h_1 = 7600$ км

$h_2 = 600$ км

Средний радиус Земли $R_З \approx 6400$ км

Масса Земли $M_З$

Гравитационная постоянная $\text{G}$

$h_1 = 7600 \cdot 10^3 \text{ м} = 7.6 \cdot 10^6 \text{ м}$

$h_2 = 600 \cdot 10^3 \text{ м} = 0.6 \cdot 10^6 \text{ м}$

$R_З \approx 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

$\frac{v_1}{v_2}$

Решение:

При движении спутника по круговой орбите сила всемирного тяготения, действующая на него со стороны Земли, сообщает ему центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона:

$F_g = ma_ц$

где $F_g$ — сила гравитационного притяжения, $\text{m}$ — масса спутника, $a_ц$ — центростремительное ускорение.

Сила гравитационного притяжения определяется формулой:

$F_g = G \frac{M_З m}{r^2}$

Центростремительное ускорение равно:

$a_ц = \frac{v^2}{r}$

Приравняем выражения:

$G \frac{M_З m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}$

Отсюда можно выразить скорость движения спутника на орбите:

$v = \sqrt{\frac{G M_З}{r}}$

Здесь $\text{r}$ — это радиус орбиты, который равен сумме радиуса Земли $R_З$ и высоты спутника над поверхностью Земли $\text{h}$: $r = R_З + h$.

Тогда скорости первого и второго спутников равны:

$v_1 = \sqrt{\frac{G M_З}{R_З + h_1}}$

$v_2 = \sqrt{\frac{G M_З}{R_З + h_2}}$

Найдем отношение скорости первого спутника к скорости второго:

$\frac{v_1}{v_2} = \frac{\sqrt{\frac{G M_З}{R_З + h_1}}}{\sqrt{\frac{G M_З}{R_З + h_2}}} = \sqrt{\frac{G M_З}{R_З + h_1} \cdot \frac{R_З + h_2}{G M_З}} = \sqrt{\frac{R_З + h_2}{R_З + h_1}}$

Подставим числовые значения. Для вычислений можно использовать значения в километрах, так как единицы измерения сократятся.

Радиус орбиты первого спутника:

$r_1 = R_З + h_1 = 6400 \text{ км} + 7600 \text{ км} = 14000 \text{ км}$

Радиус орбиты второго спутника:

$r_2 = R_З + h_2 = 6400 \text{ км} + 600 \text{ км} = 7000 \text{ км}$

Теперь найдем искомое отношение скоростей:

$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{r_2}{r_1}} = \sqrt{\frac{7000 \text{ км}}{14000 \text{ км}}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$

Ответ: Отношение скорости первого спутника к скорости второго равно $\frac{1}{\sqrt{2}}$ или приблизительно 0,71.