Номер 11, страница 18 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Тренировочные задания. ТЗ-7. Закон всемирного тяготения. Движение тела по окружности. Искусственные спутники Земли - номер 11, страница 18.

Условие.

11. С какой минимальной скоростью нужно вращать в вертикальной плоскости ведро с водой, чтобы при прохождении через высшую точку вода из него не вылилась? Ведро подвешено на верёвке длиной 50 см.

Решение.

Дано:

Длина верёвки: $l = 50 \, см$

Ускорение свободного падения: $g \approx 9.8 \, м/с^2$

Перевод в систему СИ:

$l = 50 \, см = 0.5 \, м$

Найти:

Минимальную скорость вращения ведра: $v_{min}$

Решение:

Для того чтобы вода не вылилась из ведра в высшей точке траектории, центростремительное ускорение воды должно быть по крайней мере равно ускорению свободного падения. В этой точке на воду действуют две силы, направленные вертикально вниз: сила тяжести $m\vec{g}$ и сила реакции дна ведра $\vec{N}$.

Согласно второму закону Ньютона, сумма сил, действующих на воду, равна произведению массы воды $\text{m}$ на её центростремительное ускорение $a_c$:

$m\vec{g} + \vec{N} = m\vec{a}_c$

Спроецируем это уравнение на вертикальную ось, направленную вниз (к центру вращения):

$mg + N = ma_c$

Центростремительное ускорение определяется формулой $a_c = \frac{v^2}{r}$, где $\text{v}$ - линейная скорость, а $\text{r}$ - радиус вращения. В данном случае радиус равен длине веревки $\text{l}$.

$mg + N = \frac{mv^2}{l}$

Вода не выльется, пока она соприкасается с дном ведра, то есть пока сила реакции опоры $\text{N}$ неотрицательна ($N \ge 0$). Минимальная скорость $v_{min}$ соответствует условию, когда вода вот-вот потеряет контакт с дном, то есть когда сила реакции опоры стремится к нулю ($N=0$). В этом предельном случае сила тяжести в одиночку обеспечивает необходимое центростремительное ускорение.

Приравняем $\text{N}$ к нулю:

$mg = \frac{mv_{min}^2}{l}$

Сократив массу $\text{m}$, получим выражение для минимальной скорости:

$g = \frac{v_{min}^2}{l}$

$v_{min}^2 = gl$

$v_{min} = \sqrt{gl}$

Подставим числовые значения и произведем расчет:

$v_{min} = \sqrt{9.8 \, \frac{м}{с^2} \cdot 0.5 \, м} = \sqrt{4.9 \, \frac{м^2}{с^2}} \approx 2.21 \, \frac{м}{с}$

Округлим результат до десятых.

Ответ: минимальная скорость, с которой нужно вращать ведро, составляет примерно $2.2 \, м/с$.