Страница 120 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

1. Что называют импульсом тела?

Импульсом тела (также его называют количеством движения) — это векторная физическая величина, являющаяся мерой механического движения тела. Импульс равен произведению массы тела на его скорость.

Математически это выражается формулой:

$$ \vec{p} = m \vec{v} $$

где:

• $ \vec{p} $ — вектор импульса тела,
• $ m $ — масса тела,
• $ \vec{v} $ — вектор скорости тела.

Из формулы видно, что импульс — это векторная величина. Направление вектора импульса всегда совпадает с направлением вектора скорости. Чем больше масса или скорость тела, тем больше его импульс.

В Международной системе единиц (СИ) импульс измеряется в килограмм-метрах в секунду (кг⋅м/с).

Понятие импульса играет ключевую роль в динамике, особенно при анализе ударов и взаимодействий в замкнутых системах, где выполняется закон сохранения импульса: суммарный импульс всех тел системы остается постоянным, если на систему не действуют внешние силы или их векторная сумма равна нулю.

Ответ: Импульсом тела называют векторную физическую величину, равную произведению массы этого тела на его скорость. Формула: $ \vec{p} = m \vec{v} $.

2. Что можно сказать о направлениях векторов импульса и скорости движущегося тела?

1. Что называют импульсом тела?

Импульсом тела (также известным как количество движения) называют векторную физическую величину, которая служит мерой механического движения тела. Импульс определяется как произведение массы тела на его скорость. Эта зависимость выражается следующей формулой:

$\vec{p} = m\vec{v}$

Здесь $\vec{p}$ обозначает вектор импульса, $m$ — массу тела (скалярная величина), а $\vec{v}$ — вектор его скорости.

Единицей измерения импульса в Международной системе единиц (СИ) является килограмм-метр в секунду (кг·м/с). Понятие импульса играет ключевую роль в динамике, особенно при анализе взаимодействий, таких как столкновения, так как оно связано с одним из фундаментальных законов сохранения в природе.

Ответ: Импульсом тела называют векторную физическую величину, равную произведению массы тела на вектор его скорости.

2. Что можно сказать о направлениях векторов импульса и скорости движущегося тела?

Направление вектора импульса $\vec{p}$ движущегося тела всегда полностью совпадает с направлением вектора его скорости $\vec{v}$. Это прямое следствие определения импульса, которое задается формулой $\vec{p} = m\vec{v}$.

В данной формуле вектор скорости $\vec{v}$ умножается на массу $m$, которая является скалярной (не имеющей направления) и всегда положительной величиной ($m > 0$). Умножение вектора на положительный скаляр изменяет только его длину (модуль), но не его направление в пространстве. Следовательно, результирующий вектор импульса $\vec{p}$ будет направлен в ту же сторону, что и исходный вектор скорости $\vec{v}$. Они являются сонаправленными векторами.

Ответ: Вектор импульса движущегося тела всегда сонаправлен (имеет то же направление), что и вектор его скорости.

3. Расскажи...

(Вопрос на изображении представлен не полностью. Исходя из контекста предыдущих вопросов, наиболее вероятное продолжение — "Расскажите о законе сохранения импульса". Ниже приводится ответ на этот предполагаемый вопрос.)

Закон сохранения импульса — это фундаментальный закон физики, который утверждает, что для любой замкнутой системы тел векторная сумма импульсов всех тел, составляющих эту систему, остается неизменной (сохраняется) с течением времени, независимо от того, какие взаимодействия происходят между телами внутри этой системы.

Замкнутой (или изолированной) системой называется совокупность тел, на которые не действуют никакие внешние силы, либо векторная сумма всех действующих на систему внешних сил равна нулю.

Математически для системы из $N$ тел закон можно записать как:

$\vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \dots + \vec{p}_N = \text{const}$

Это означает, что суммарный импульс системы до взаимодействия равен суммарному импульсу системы после взаимодействия. Для двух взаимодействующих тел это записывается в виде:

$m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = m_1\vec{v'}_1 + m_2\vec{v'}_2$

где $m_1, m_2$ — массы тел, $\vec{v}_1, \vec{v}_2$ — их скорости до взаимодействия, а $\vec{v'}_1, \vec{v'}_2$ — скорости после взаимодействия.

Этот закон объясняет множество явлений: отдачу оружия при выстреле, движение ракет (реактивное движение), столкновение бильярдных шаров, разрыв снаряда в полете и другие процессы взаимодействия тел.

Ответ: В замкнутой системе тел векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему, остается постоянной.

3. Расскажите о ходе опыта, изображённого на рисунке 80. О чём он свидетельствует?

Что называют импульсом тела?

Импульсом тела (или количеством движения) называют физическую векторную величину, равную произведению массы тела на его скорость. Импульс является мерой механического движения тела.

Формула для расчёта импульса тела: $ \vec{p} = m \vec{v} $ где $ \vec{p} $ — вектор импульса тела, $ m $ — масса тела, а $ \vec{v} $ — вектор его скорости.

В Международной системе единиц (СИ) импульс измеряется в килограмм-метрах в секунду (кг·м/с).

Ответ: Импульсом тела называется векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость и характеризующая количество механического движения тела.

2. Что можно сказать о направлениях векторов импульса и скорости движущегося тела?

Направление вектора импульса тела всегда совпадает с направлением вектора его скорости. Это следует непосредственно из определения импульса: $ \vec{p} = m \vec{v} $.

В этой формуле масса $ m $ является скалярной величиной, которая всегда положительна ($ m > 0 $). Умножение вектора (скорости $ \vec{v} $) на положительный скаляр (массу $ m $) приводит к новому вектору (импульсу $ \vec{p} $), который имеет то же направление, что и исходный вектор, а его модуль изменяется в $ m $ раз.

Таким образом, векторы импульса $ \vec{p} $ и скорости $ \vec{v} $ всегда сонаправлены.

Ответ: Вектор импульса движущегося тела всегда сонаправлен вектору его скорости.

3. Расскажите о ходе опыта, изображённого на рисунке 80. О чём он свидетельствует?

Поскольку изображение рисунка 80 отсутствует, опишем классический опыт, демонстрирующий закон сохранения импульса, который, вероятно, и был изображён. Чаще всего для этого используют две тележки на воздушной подушке или на рельсах с малым трением.

Ход опыта:

1. Подготовка: На горизонтальный трек (например, рельс на воздушной подушке, чтобы минимизировать трение) устанавливают две тележки известных масс $m_1$ и $m_2$. С помощью датчиков (например, фотоворот) можно измерить скорости тележек до и после их взаимодействия.

2. Проведение: Одной тележке (например, первой) сообщают начальную скорость $ \vec{v_1} $ и направляют её на вторую тележку, которая находится в покое ($ \vec{v_2} = 0 $).

3. Взаимодействие: Тележки сталкиваются. В зависимости от устройства их бамперов, они могут либо сцепиться и двигаться дальше как единое целое (абсолютно неупругий удар), либо оттолкнуться друг от друга (упругий или частично упругий удар).

4. Измерения: С помощью датчиков измеряют скорости тележек $ \vec{u_1} $ и $ \vec{u_2} $ сразу после столкновения.

Результаты и вывод:

Расчёты показывают, что суммарный импульс системы двух тележек до взаимодействия, равный $ \vec{p}_{до} = m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} $, с высокой точностью равен суммарному импульсу системы после взаимодействия, равному $ \vec{p}_{после} = m_1\vec{u_1} + m_2\vec{u_2} $.

$ m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} = m_1\vec{u_1} + m_2\vec{u_2} $

Этот опыт свидетельствует о выполнении закона сохранения импульса: в замкнутой системе тел векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему, остаётся постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой.

Ответ: Опыт (вероятнее всего, со сталкивающимися тележками) демонстрирует, что полный импульс системы тел до взаимодействия равен полному импульсу системы тел после взаимодействия. Это свидетельствует о справедливости закона сохранения импульса для замкнутых систем.

4. Что означает утверждение о том, что несколько тел образуют замкнутую систему?

Утверждение, что несколько тел образуют замкнутую (или изолированную) систему, означает, что эти тела взаимодействуют только друг с другом, а внешние силы, действующие на них, либо отсутствуют, либо их векторная сумма равна нулю (то есть они скомпенсированы).

В такой системе на любое из тел могут действовать силы со стороны других тел системы (внутренние силы), но никакие тела извне системы не оказывают на них воздействия. Понятие замкнутой системы является идеализацией, но оно очень полезно в физике. На практике система считается замкнутой, если внешние силы пренебрежимо малы по сравнению с внутренними силами (например, при взрыве снаряда или столкновении автомобилей), или если рассматривается движение в направлении, перпендикулярном скомпенсированным внешним силам (например, движение тележек по горизонтальному столу, где сила тяжести скомпенсирована силой реакции опоры).

Главное свойство замкнутой системы — для неё выполняется закон сохранения импульса.

Ответ: Это означает, что тела взаимодействуют только между собой, а действие на них сил со стороны других тел, не входящих в эту систему, отсутствует или скомпенсировано (их равнодействующая равна нулю).

4. Что означает утверждение о том, что несколько тел образуют замкнутую систему?

Утверждение о том, что несколько тел образуют замкнутую (или изолированную) систему, означает, что на тела этой системы не действуют внешние силы, либо их векторная сумма равна нулю. В такой системе тела могут взаимодействовать только друг с другом (внутренними силами).

Другими словами, все изменения импульсов и энергий тел внутри системы происходят только за счет их взаимного влияния. Внешние объекты не оказывают на систему никакого воздействия. Например, если мы рассматриваем столкновение двух бильярдных шаров на столе, мы можем приближенно считать систему этих двух шаров замкнутой на короткий промежуток времени самого удара. В этот момент силы взаимодействия между шарами (внутренние силы) намного больше внешних сил, таких как сила тяжести, сила нормальной реакции и сила трения о воздух (которыми можно пренебречь, или которые скомпенсированы).

Таким образом, для замкнутой системы векторная сумма всех внешних сил, действующих на тела системы, равна нулю:

$\sum \vec{F}_{внешн} = 0$

Это ключевое условие, при котором выполняется закон сохранения импульса для данной системы тел.

Ответ: Утверждение, что несколько тел образуют замкнутую систему, означает, что эти тела взаимодействуют только между собой, а действие внешних сил со стороны других тел скомпенсировано (их равнодействующая равна нулю).

5. Закон сохранения импульса гласит: векторная сумма импульсов всех тел, входящих в замкнутую систему, остается постоянной (сохраняется) при любых взаимодействиях тел этой системы между собой.

Математически для системы из N тел это можно записать так:

$\vec{p}_1 + \vec{p}_2 + ... + \vec{p}_N = \text{const}$

где $\vec{p}_1, \vec{p}_2, ..., \vec{p}_N$ — импульсы тел системы.

Это означает, что суммарный импульс системы до взаимодействия равен суммарному импульсу системы после взаимодействия. Если рассмотреть взаимодействие двух тел, то закон можно записать в виде:

$m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = m_1\vec{v'}_1 + m_2\vec{v'}_2$

Здесь $m_1, m_2$ — массы тел, $\vec{v}_1, \vec{v}_2$ — их скорости до взаимодействия, а $\vec{v'}_1, \vec{v'}_2$ — их скорости после взаимодействия.

Этот закон является фундаментальным законом природы и является следствием второго и третьего законов Ньютона для замкнутой системы. Он выполняется для любых взаимодействий (упругих, неупругих) внутри замкнутой системы.

Ответ: В замкнутой системе тел векторная сумма импульсов всех тел, составляющих систему, есть величина постоянная. Математически: $\sum_{i=1}^{N} m_i\vec{v}_i = \text{const}$.

5. Сформулируйте закон сохранения импульса.

Закон сохранения импульса является одним из фундаментальных законов физики. Его формулировка следующая:

Векторная сумма импульсов всех тел, составляющих замкнутую систему, остается постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой.

Для полного понимания закона необходимо определить ключевые понятия:

• Импульс тела (количество движения) — это векторная величина, являющаяся мерой механического движения тела. Импульс тела равен произведению его массы $m$ на его скорость $\vec{v}$.

  Математически это выражается формулой:

  $\vec{p} = m\vec{v}$

• Замкнутая (или изолированная) система тел — это совокупность тел, которые взаимодействуют только друг с другом (внутренними силами) и не подвергаются воздействию со стороны внешних сил, либо равнодействующая всех внешних сил равна нулю.

Полный импульс системы тел представляет собой векторную сумму импульсов каждого тела, входящего в эту систему:

$\vec{P}_{сист} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 + ... + \vec{p}_n = \sum_{i=1}^{n} m_i\vec{v}_i$

Таким образом, закон сохранения импульса можно записать в математическом виде:

$\vec{P}_{сист} = \text{const}$

Это означает, что если система тел является замкнутой, ее полный импульс не изменяется со временем.

Например, для двух тел, взаимодействующих в замкнутой системе (например, при столкновении), закон сохранения импульса записывается как равенство полного импульса системы до взаимодействия и после него:

$m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = m_1\vec{v'}_1 + m_2\vec{v'}_2$

где $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ — скорости тел до взаимодействия, а $\vec{v'}_1$ и $\vec{v'}_2$ — их скорости после взаимодействия.

Этот закон является прямым следствием второго и третьего законов Ньютона. Согласно второму закону Ньютона, изменение импульса системы тел за некоторый промежуток времени $\Delta t$ равно импульсу равнодействующей внешних сил $\vec{F}_{внешн}$, действующих на систему: $\Delta\vec{P}_{сист} = \vec{F}_{внешн}\Delta t$. Для замкнутой системы $\vec{F}_{внешн} = 0$, следовательно, изменение импульса системы $\Delta\vec{P}_{сист} = 0$, что и означает, что импульс системы сохраняется.

Ответ: Закон сохранения импульса гласит, что полный импульс замкнутой системы тел (векторная сумма импульсов всех тел системы) сохраняется, то есть не изменяется с течением времени. Математическая формулировка закона: $\sum m_i\vec{v}_i = \text{const}$ для замкнутой системы.

6. Что называют импульсом силы?

6. Решение

Импульсом силы называют векторную физическую величину, которая является мерой воздействия силы на тело за определенный промежуток времени. Эта величина равна произведению вектора силы на время ее действия.

Если на тело действует постоянная сила $\vec{F}$ в течение промежутка времени $\Delta t$, то импульс этой силы $\vec{J}$ (иногда обозначают $\vec{I}$) вычисляется по формуле:

$\vec{J} = \vec{F} \cdot \Delta t$

В этой формуле $\vec{J}$ – это импульс силы, $\vec{F}$ – вектор силы, а $\Delta t$ – промежуток времени, в течение которого действовала сила.

Направление вектора импульса силы совпадает с направлением вектора силы.

Импульс силы тесно связан с другой важной величиной – импульсом тела (количеством движения). Согласно второму закону Ньютона в импульсной форме, изменение импульса тела равно импульсу равнодействующей всех сил, приложенных к телу:

$\vec{F} \Delta t = \Delta \vec{p}$

Здесь $\Delta \vec{p} = m\vec{v}_2 - m\vec{v}_1$ – это изменение импульса тела. Таким образом, импульс силы характеризует изменение импульса тела под действием этой силы.

Единицей измерения импульса силы в Международной системе единиц (СИ) является ньютон-секунда (Н·с). Эта единица эквивалентна единице импульса тела – килограмм-метр в секунду (кг·м/с).

Ответ:

Импульс силы – это векторная физическая величина, равная произведению силы на время её действия. Он определяет изменение импульса тела под действием данной силы.

7. Для замкнутой системы, состоящей из двух тел, запишите закон сохранения импульса в виде уравнения, в которое входили бы массы и скорости этих тел. Поясните, что означает каждый символ в этом уравнении.

6. Решение

Импульсом силы называют векторную физическую величину, равную произведению вектора силы на время ее действия. Импульс силы является мерой воздействия силы на тело за определенный промежуток времени.

Математически импульс силы $\vec{I}$ выражается формулой:

$\vec{I} = \vec{F} \Delta t$

где $\vec{F}$ — вектор силы, постоянно действующей на тело, а $\Delta t$ — промежуток времени, в течение которого эта сила действует.

Согласно второму закону Ньютона, $\vec{F} = m\vec{a}$. Ускорение $\vec{a}$ — это изменение скорости за единицу времени, $\vec{a} = \frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}$. Подставив это в формулу, получаем $\vec{F} = m\frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}$. Отсюда следует, что $\vec{F}\Delta t = m\Delta\vec{v}$.

Величина $m\Delta\vec{v}$ представляет собой изменение импульса тела ($\Delta\vec{p}$). Таким образом, импульс силы равен изменению импульса тела:

$\vec{F}\Delta t = \Delta\vec{p}$

Это утверждение известно как теорема об изменении импульса. Единица измерения импульса силы в системе СИ — ньютон-секунда (Н·с).

Ответ: Импульсом силы называют векторную физическую величину, равную произведению силы на время ее действия ($\vec{F}\Delta t$). Он характеризует изменение импульса тела в результате действия силы.

7. Решение

Замкнутой (или изолированной) системой тел называют совокупность тел, которые взаимодействуют только между собой и не подвергаются воздействию внешних сил (или равнодействующая всех внешних сил равна нулю).

Закон сохранения импульса гласит, что векторная сумма импульсов всех тел, входящих в замкнутую систему, остается постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой.

Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из двух тел с массами $m_1$ и $m_2$. Пусть до взаимодействия их скорости были равны $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ соответственно. Суммарный импульс системы до взаимодействия равен:

$\vec{p}_{до} = m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2$

После взаимодействия скорости этих тел стали $\vec{v}'_1$ и $\vec{v}'_2$. Суммарный импульс системы после взаимодействия равен:

$\vec{p}_{после} = m_1\vec{v}'_1 + m_2\vec{v}'_2$

Согласно закону сохранения импульса, $\vec{p}_{до} = \vec{p}_{после}$. Таким образом, уравнение закона сохранения импульса для системы из двух тел имеет вид:

$m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = m_1\vec{v}'_1 + m_2\vec{v}'_2$

Пояснение символов в этом уравнении:

• $m_1$ — масса первого тела;
• $m_2$ — масса второго тела;
• $\vec{v}_1$ — вектор скорости первого тела до взаимодействия;
• $\vec{v}_2$ — вектор скорости второго тела до взаимодействия;
• $\vec{v}'_1$ — вектор скорости первого тела после взаимодействия;
• $\vec{v}'_2$ — вектор скорости второго тела после взаимодействия.

Это векторное уравнение, то есть оно справедливо для проекций векторов на любую координатную ось.

Ответ: Уравнение закона сохранения импульса для замкнутой системы из двух тел: $m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = m_1\vec{v}'_1 + m_2\vec{v}'_2$, где $m_1$ и $m_2$ — массы тел, $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ — их скорости до взаимодействия, а $\vec{v}'_1$ и $\vec{v}'_2$ — их скорости после взаимодействия.

Докажите, что кг • м/с = Н • с.

Решение

Для того чтобы доказать равенство $\text{кг} \cdot \text{м/с} = \text{Н} \cdot \text{с}$, необходимо выразить единицу измерения силы — Ньютон (Н) — через основные единицы Международной системы единиц (СИ).

Согласно второму закону Ньютона, сила $F$ равна произведению массы тела $m$ на сообщаемое этой силой ускорение $a$:

$F = m \cdot a$

В системе СИ единицей измерения массы является килограмм (кг), а единицей измерения ускорения — метр на секунду в квадрате $(\text{м/с}^2)$. Следовательно, единицу измерения силы, Ньютон (Н), можно выразить через эти единицы:

$1 \text{ Н} = 1 \text{ кг} \cdot \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Теперь подставим это выражение для Ньютона в правую часть доказываемого равенства $(\text{Н} \cdot \text{с})$:

$\text{Н} \cdot \text{с} = \left(\text{кг} \cdot \frac{\text{м}}{\text{с}^2}\right) \cdot \text{с}$

При умножении дроби на величину «секунда» (с), мы можем сократить единицы времени:

$\text{кг} \cdot \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot \text{с} = \text{кг} \cdot \frac{\text{м}}{\text{с}}$

В результате преобразования мы получили, что правая часть равенства $(\text{Н} \cdot \text{с})$ тождественно равна левой части $(\text{кг} \cdot \text{м/с})$.

$\text{кг} \cdot \frac{\text{м}}{\text{с}} = \text{кг} \cdot \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Таким образом, исходное равенство доказано.

Ответ: Равенство $\text{кг} \cdot \text{м/с} = \text{Н} \cdot \text{с}$ доказано. Величина $\text{кг} \cdot \text{м/с}$ является единицей измерения импульса тела, а $\text{Н} \cdot \text{с}$ — единицей измерения импульса силы, что соответствует теореме об изменении импульса тела ($m\Delta v = F \Delta t$).

1. Две игрушечные заводные машины, массой по 0,2 кг каждая, движутся прямолинейно навстречу друг другу. Скорость каждой машины относительно земли равна 0,1 м/с. Равны ли векторы импульсов машин; модули векторов импульсов? Определите проекцию импульса каждой из машин на ось X, параллельную их траектории.

Дано:

Масса первой машины, $m_1 = 0,2$ кг

Масса второй машины, $m_2 = 0,2$ кг

Скорость первой машины, $v_1 = 0,1$ м/с

Скорость второй машины, $v_2 = 0,1$ м/с

Движение машин прямолинейное, навстречу друг другу.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

1. Сравнить векторы импульсов $\vec{p_1}$ и $\vec{p_2}$.

2. Сравнить модули векторов импульсов $|\vec{p_1}|$ и $|\vec{p_2}|$.

3. Найти проекции импульсов $p_{1x}$ и $p_{2x}$.

Решение:

Импульс тела (количество движения) — это векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость. Формула для расчета импульса: $\vec{p} = m\vec{v}$.

Равны ли векторы импульсов машин?

Вектор определяется как модулем (длиной), так и направлением. Два вектора считаются равными, если их модули равны и направления совпадают.

Сначала найдем модули импульсов каждой машины по формуле $p = mv$:

Модуль импульса первой машины: $p_1 = m_1 v_1 = 0,2 \text{ кг} \cdot 0,1 \text{ м/с} = 0,02 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

Модуль импульса второй машины: $p_2 = m_2 v_2 = 0,2 \text{ кг} \cdot 0,1 \text{ м/с} = 0,02 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

Модули импульсов равны. Однако, по условию задачи, машины движутся навстречу друг другу, что означает, что векторы их скоростей ($\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$) направлены в противоположные стороны. Поскольку вектор импульса $\vec{p}$ всегда сонаправлен с вектором скорости $\vec{v}$, то и векторы импульсов $\vec{p_1}$ и $\vec{p_2}$ также противоположно направлены. Так как их направления не совпадают, векторы не являются равными.

Ответ: Нет, векторы импульсов машин не равны, так как при одинаковых модулях они имеют противоположные направления.

Равны ли модули векторов импульсов?

Как было рассчитано в предыдущем пункте, модуль импульса для каждой машины определяется произведением ее массы на скорость. Поскольку массы и скорости машин по условию равны, то и модули их импульсов равны.

$p_1 = p_2 = 0,2 \text{ кг} \cdot 0,1 \text{ м/с} = 0,02 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

Ответ: Да, модули векторов импульсов равны и составляют $0,02 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

Определите проекцию импульса каждой из машин на ось Х, параллельную их траектории.

Выберем ось координат ОХ так, чтобы она была параллельна траектории движения машин, а ее положительное направление совпадало с направлением движения первой машины. В этом случае проекция скорости первой машины на ось Х будет положительной, а второй — отрицательной.

Проекция скорости первой машины на ось Х: $v_{1x} = v_1 = 0,1 \text{ м/с}$.

Проекция импульса первой машины на ось Х: $p_{1x} = m_1 v_{1x} = 0,2 \text{ кг} \cdot 0,1 \text{ м/с} = 0,02 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

Проекция скорости второй машины на ось Х: $v_{2x} = -v_2 = -0,1 \text{ м/с}$.

Проекция импульса второй машины на ось Х: $p_{2x} = m_2 v_{2x} = 0,2 \text{ кг} \cdot (-0,1 \text{ м/с}) = -0,02 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

Ответ: Если направить ось Х по направлению движения первой машины, то проекция ее импульса на эту ось равна $p_{1x} = 0,02 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$, а проекция импульса второй машины равна $p_{2x} = -0,02 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

2. На сколько изменится модуль импульса автомобиля массой 1 т при изменении модуля его скорости от 54 до 72 км/ч?

Дано:

$m = 1 \text{ т}$

$v_1 = 54 \text{ км/ч}$

$v_2 = 72 \text{ км/ч}$

Переведем данные в систему СИ:

$m = 1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$

$v_1 = 54 \text{ км/ч} = 54 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 15 \text{ м/с}$

$v_2 = 72 \text{ км/ч} = 72 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 20 \text{ м/с}$

Найти:

$\Delta p$

Решение:

Модуль импульса тела вычисляется по формуле:

$p = m \cdot v$

где $m$ — масса тела, а $v$ — модуль его скорости.

Изменение модуля импульса автомобиля $\Delta p$ равно разности между конечным и начальным модулями импульса:

$\Delta p = p_2 - p_1$

Здесь $p_1$ — начальный модуль импульса, а $p_2$ — конечный модуль импульса.

$p_1 = m \cdot v_1$

$p_2 = m \cdot v_2$

Подставим выражения для $p_1$ и $p_2$ в формулу для изменения модуля импульса:

$\Delta p = m \cdot v_2 - m \cdot v_1 = m \cdot (v_2 - v_1)$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$\Delta p = 1000 \text{ кг} \cdot (20 \text{ м/с} - 15 \text{ м/с}) = 1000 \text{ кг} \cdot 5 \text{ м/с} = 5000 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

Ответ: изменение модуля импульса автомобиля составит $5000 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

3. Человек сидит в лодке, покоящейся на поверхности озера. В какой-то момент он встаёт и идёт с кормы на нос. Что произойдёт при этом с лодкой? Объясните явление на основе закона сохранения импульса.

Решение

Рассмотрим систему тел «человек + лодка». Внешними силами, действующими на эту систему, являются сила тяжести и сила Архимеда, которые уравновешивают друг друга по вертикали. В горизонтальном направлении внешними силами можно пренебречь (сопротивление воды считаем незначительным). Силы, с которыми человек и лодка взаимодействуют друг с другом (например, сила трения ног человека о дно лодки), являются внутренними для данной системы. Поскольку сумма внешних сил, действующих на систему в горизонтальном направлении, равна нулю, то для этой системы выполняется закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось.

Пусть $m_ч$ – масса человека, а $m_л$ – масса лодки.

В начальный момент времени лодка и человек в ней покоятся относительно воды. Следовательно, их скорости равны нулю, и начальный суммарный импульс системы также равен нулю:

$p_{нач} = (m_ч + m_л) \cdot 0 = 0$

Когда человек встаёт и начинает идти от кормы к носу, он приобретает скорость относительно лодки. Обозначим скорость человека относительно воды как $\vec{v}_ч$, а скорость лодки относительно воды как $\vec{u}_л$. Чтобы суммарный импульс системы оставался равным нулю (согласно закону сохранения импульса), лодка также должна прийти в движение.

Импульс системы во время движения человека равен векторной сумме импульсов человека и лодки:

$\vec{p}_{кон} = m_ч \vec{v}_ч + m_л \vec{u}_л$

По закону сохранения импульса, $\vec{p}_{нач} = \vec{p}_{кон}$, поэтому:

$m_ч \vec{v}_ч + m_л \vec{u}_л = 0$

Из этого уравнения следует, что:

$m_л \vec{u}_л = - m_ч \vec{v}_ч$

Это векторное равенство показывает, что вектор скорости лодки $\vec{u}_л$ направлен в сторону, противоположную вектору скорости человека $\vec{v}_ч$. То есть, если человек движется вперёд (к носу), то лодка будет двигаться назад (к корме).

Когда человек дойдет до носа и остановится, его скорость $\vec{v}_ч$ снова станет равной нулю. В этот момент, чтобы импульс системы сохранился равным нулю, скорость лодки $\vec{u}_л$ также должна стать равной нулю. Таким образом, лодка остановится, но окажется смещенной назад относительно своего первоначального положения.

Ответ: Когда человек будет двигаться с кормы на нос, лодка будет двигаться в противоположном направлении — назад. Это является следствием закона сохранения импульса: так как система «человек-лодка» является замкнутой в горизонтальном направлении и её начальный импульс равен нулю, то при движении человека в одну сторону лодка должна двигаться в другую, чтобы суммарный импульс системы оставался нулевым.

4. Железнодорожный вагон массой 35 т подъезжает к стоящему на том же пути неподвижному вагону массой 28 т и автоматически сцепляется с ним. После сцепки вагоны движутся прямолинейно со скоростью 0,5 м/с. Какова была скорость вагона массой 35 т перед сцепкой?

Дано:

Масса первого вагона, $m_1 = 35 \text{ т} = 35000 \text{ кг}$

Масса второго вагона, $m_2 = 28 \text{ т} = 28000 \text{ кг}$

Начальная скорость второго вагона, $v_2 = 0 \text{ м/с}$

Конечная скорость сцепленных вагонов, $u = 0,5 \text{ м/с}$

Найти:

Начальную скорость первого вагона, $v_1$

Решение:

Данная задача решается с помощью закона сохранения импульса. Система, состоящая из двух вагонов, является замкнутой в горизонтальном направлении, поскольку внешними силами (трением, сопротивлением воздуха) можно пренебречь. В замкнутой системе суммарный импульс тел до взаимодействия равен суммарному импульсу тел после взаимодействия.

Импульс системы до сцепки ($p_{до}$) равен сумме импульсов каждого вагона:

$p_{до} = m_1 v_1 + m_2 v_2$

Поскольку второй вагон неподвижен, его начальная скорость $v_2 = 0$. Следовательно, импульс системы до сцепки равен импульсу только первого вагона:

$p_{до} = m_1 v_1$

После сцепки вагоны представляют собой единое целое с общей массой $(m_1 + m_2)$ и движутся с общей скоростью $u$. Импульс системы после сцепки ($p_{после}$) равен:

$p_{после} = (m_1 + m_2) u$

Приравниваем импульсы системы до и после взаимодействия согласно закону сохранения импульса:

$p_{до} = p_{после}$

$m_1 v_1 = (m_1 + m_2) u$

Из этого равенства выразим искомую скорость первого вагона $v_1$:

$v_1 = \frac{(m_1 + m_2) u}{m_1}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу:

$v_1 = \frac{(35000 \text{ кг} + 28000 \text{ кг}) \cdot 0,5 \text{ м/с}}{35000 \text{ кг}}$

$v_1 = \frac{63000 \text{ кг} \cdot 0,5 \text{ м/с}}{35000 \text{ кг}}$

$v_1 = \frac{31500}{35000} \text{ м/с}$

$v_1 = 0,9 \text{ м/с}$

Ответ: скорость вагона массой 35 т перед сцепкой была равна 0,9 м/с.

5. Мальчик массой 40 кг, стоящий на коньках, оттолкнувшись от тренера, начал двигаться со скоростью 2 м/с. Какова масса тренера, если он начал скользить со скоростью 0,5 м/с?

Дано:

Масса мальчика $m_1 = 40$ кг

Скорость мальчика после толчка $v_1 = 2$ м/с

Скорость тренера после толчка $v_2 = 0,5$ м/с

Все величины даны в системе СИ, поэтому перевод не требуется.

Найти:

Массу тренера $m_2$.

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения импульса. Систему "мальчик-тренер" можно считать замкнутой, так как они стоят на коньках, и силой трения о лед можно пренебречь. Внешние силы (сила тяжести и сила реакции опоры) уравновешивают друг друга. Толчок является внутренней силой для этой системы.

До взаимодействия (толчка) мальчик и тренер находились в состоянии покоя, поэтому их начальные скорости были равны нулю. Следовательно, суммарный импульс системы до толчка был равен нулю:

$p_{до} = m_1 \cdot 0 + m_2 \cdot 0 = 0$

После толчка мальчик и тренер начали двигаться в противоположных направлениях. Суммарный импульс системы после толчка равен векторной сумме их импульсов:

$\vec{p}_{после} = m_1 \vec{v_1} + m_2 \vec{v_2}$

Согласно закону сохранения импульса, суммарный импульс замкнутой системы тел остается постоянным:

$\vec{p}_{до} = \vec{p}_{после}$

$0 = m_1 \vec{v_1} + m_2 \vec{v_2}$

Это векторное равенство. Чтобы перейти к скалярным величинам, выберем ось координат ОХ и направим ее в сторону движения мальчика. Тогда проекция скорости мальчика на эту ось будет положительной ($v_1$), а проекция скорости тренера, который движется в противоположном направлении, будет отрицательной ($-v_2$). Уравнение в проекциях на ось ОХ примет вид:

$0 = m_1 v_1 - m_2 v_2$

Из этого уравнения выразим искомую массу тренера $m_2$:

$m_2 v_2 = m_1 v_1$

$m_2 = \frac{m_1 v_1}{v_2}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи:

$m_2 = \frac{40 \text{ кг} \cdot 2 \text{ м/с}}{0,5 \text{ м/с}} = \frac{80}{0,5} \text{ кг} = 160 \text{ кг}$

Ответ: масса тренера составляет 160 кг.

6. Автомобиль «Ока» массой 600 кг едет со скоростью 36 км/ч. С какой скоростью должна лететь стрекоза массой 1 г, чтобы при их столкновении автомобиль остановился? Можно ли в данной задаче пренебречь массой стрекозы?

С какой скоростью должна лететь стрекоза массой 1 г, чтобы при их столкновении автомобиль остановился?

Дано:

$m_1 = 600 \text{ кг}$ (масса автомобиля)

$v_1 = 36 \text{ км/ч} = 36 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 10 \text{ м/с}$ (скорость автомобиля)

$m_2 = 1 \text{ г} = 0.001 \text{ кг}$ (масса стрекозы)

$u = 0 \text{ м/с}$ (конечная скорость автомобиля и стрекозы после столкновения)

Найти:

$v_2$ - скорость стрекозы.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения импульса. Систему тел "автомобиль + стрекоза" можно считать замкнутой, так как взаимодействие (столкновение) происходит за очень короткое время, и за это время действием внешних сил, таких как сила трения и сопротивление воздуха, можно пренебречь.

Согласно закону сохранения импульса, суммарный импульс системы до столкновения равен суммарному импульсу системы после столкновения. В векторной форме это записывается так: $m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} = (m_1+m_2)\vec{u}$

По условию задачи, после столкновения автомобиль останавливается. Это означает, что его конечная скорость равна нулю. Так как столкновение можно считать абсолютно неупругим (стрекоза, скорее всего, прилипнет к автомобилю), то конечная скорость всей системы $\vec{u}=0$.

Тогда уравнение сохранения импульса принимает вид: $m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} = 0$

Из этого уравнения следует, что импульс стрекозы должен быть равен по модулю и противоположен по направлению импульсу автомобиля: $m_2\vec{v_2} = -m_1\vec{v_1}$

Выберем ось X, направленную в сторону движения автомобиля. Тогда проекция скорости автомобиля на эту ось будет положительной ($v_{1x} = v_1$), а проекция скорости стрекозы, которая должна лететь навстречу, будет искомой величиной $v_{2x} = v_2$. В проекциях на ось X уравнение выглядит так: $m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0$

Выразим из этого уравнения скорость стрекозы $v_2$: $v_2 = -\frac{m_1 v_1}{m_2}$

Подставим числовые значения: $v_2 = -\frac{600 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}}{0.001 \text{ кг}} = -\frac{6000}{0.001} \text{ м/с} = -6\;000\;000 \text{ м/с}$

Знак "минус" указывает на то, что стрекоза должна лететь в направлении, противоположном движению автомобиля. Модуль её скорости должен быть равен $6\;000\;000 \text{ м/с}$. Эта скорость является фантастически большой (около 2% от скорости света в вакууме) и физически недостижимой для стрекозы.

Ответ: Стрекоза должна лететь навстречу автомобилю со скоростью $6\;000\;000 \text{ м/с}$ (или $21\;600\;000 \text{ км/ч}$).

Можно ли в данной задаче пренебречь массой стрекозы?

Решение:

Нет, в данной задаче пренебрегать массой стрекозы нельзя.

Ключевое условие для остановки автомобиля — это то, что импульс стрекозы ($p_2 = m_2 v_2$) должен быть равен по величине и противоположен по направлению импульсу автомобиля ($p_1 = m_1 v_1$).

Если бы мы пренебрегли массой стрекозы, то есть приняли бы $m_2 = 0$, то её импульс при любой конечной скорости был бы равен нулю: $p_2 = 0 \cdot v_2 = 0$. Нулевой импульс стрекозы не смог бы скомпенсировать ненулевой импульс автомобиля ($p_1 = 600 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с} = 6000 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$). Таким образом, автомобиль не мог бы остановиться.

Именно наличие массы у стрекозы (пусть и очень малой по сравнению с массой автомобиля) позволяет ей обладать импульсом. Малая масса как раз и является причиной того, что для компенсации импульса автомобиля требуется нереалистично огромная скорость.

Ответ: Нет, массой стрекозы пренебречь нельзя, так как именно её импульс (произведение массы на скорость) должен погасить импульс автомобиля.