Страница 139 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

1. Что называют механической энергией системы?

Механической энергией системы тел называют скалярную физическую величину, которая является мерой их механического движения и взаимодействия. Она представляет собой сумму кинетической и потенциальной энергий всех тел, входящих в систему.

Полная механическая энергия $E$ системы определяется формулой:

$E = E_k + E_p$

где:

• $E_k$ — это кинетическая энергия системы. Она характеризует энергию движения тел и равна сумме кинетических энергий каждого тела в системе. Кинетическая энергия отдельного тела массы $m$, движущегося со скоростью $v$, вычисляется по формуле: $E_k = \frac{mv^2}{2}$.
• $E_p$ — это потенциальная энергия системы. Она характеризует энергию взаимодействия тел друг с другом или с внешними силовыми полями. Существует несколько видов потенциальной энергии, например:
  • Потенциальная энергия тела в поле тяготения Земли: $E_p = mgh$, где $m$ — масса тела, $g$ — ускорение свободного падения, $h$ — высота над условным нулевым уровнем.
  • Потенциальная энергия упруго деформированного тела (например, пружины): $E_p = \frac{kx^2}{2}$, где $k$ — жесткость пружины, а $x$ — ее деформация (растяжение или сжатие).

Таким образом, механическая энергия системы учитывает как движение ее частей (кинетическая энергия), так и их взаимное расположение и взаимодействие (потенциальная энергия). В замкнутой системе, где действуют только консервативные силы (силы тяготения, упругости), полная механическая энергия сохраняется.

Ответ: Механической энергией системы называют сумму кинетической энергии движения тел, входящих в систему, и потенциальной энергии их взаимодействия между собой и с внешними телами (полями).

2. В чём заключается закон изменения механической энергии?

Что называют механической энергией системы?

Механической энергией системы тел называют скалярную физическую величину, являющуюся суммой кинетической и потенциальной энергий тел, входящих в систему. Механическая энергия характеризует способность системы совершать механическую работу.

Полная механическая энергия $E$ состоит из двух частей:

Кинетическая энергия ($E_к$) — это энергия, связанная с движением тел системы. Она зависит от масс тел и скоростей их движения. Для системы тел она равна сумме кинетических энергий каждого тела. Для отдельного тела массой $m$ и скоростью $v$ кинетическая энергия вычисляется по формуле $E_к = \frac{mv^2}{2}$.

Потенциальная энергия ($E_п$) — это энергия, обусловленная взаимодействием тел друг с другом или частей одного тела. Она зависит от их взаимного расположения. Примерами могут служить энергия тела, поднятого над землей (в поле тяготения), или энергия сжатой пружины (энергия упругой деформации).

Таким образом, полная механическая энергия системы является суммой этих двух видов энергии:

$E = E_к + E_п$

Ответ: Механической энергией системы называется сумма кинетической энергии (энергии движения) и потенциальной энергии (энергии взаимодействия) всех тел, входящих в эту систему.

2. В чём заключается закон изменения механической энергии?

Закон изменения механической энергии гласит, что изменение полной механической энергии системы равно суммарной работе всех неконсервативных (например, сил трения) и внешних сил, действующих на тела системы.

Этот закон является более общей формой закона сохранения энергии и применяется в тех случаях, когда механическая энергия не сохраняется. Математически он выражается следующей формулой:

$\Delta E = E_{конечная} - E_{начальная} = A_{неконс} + A_{внеш}$

где:

$\Delta E$ — изменение полной механической энергии системы;

$A_{неконс}$ — работа всех неконсервативных сил (например, силы трения, силы сопротивления). Работа этих сил чаще всего приводит к диссипации, то есть рассеиванию энергии, превращая её в тепло;

$A_{внеш}$ — работа внешних сил, приложенных к системе извне.

Если работа этих сил положительна, механическая энергия системы увеличивается. Если отрицательна — уменьшается. Если их суммарная работа равна нулю, то полная механическая энергия системы сохраняется.

Ответ: Закон изменения механической энергии заключается в том, что изменение полной механической энергии системы происходит под действием неконсервативных и внешних сил и равно их суммарной работе ($\Delta E = A_{неконс} + A_{внеш}$).

3. Сформулируйте закон сохранения механической энергии.

Закон сохранения механической энергии является фундаментальным законом физики и формулируется следующим образом: полная механическая энергия замкнутой системы тел, в которой действуют только консервативные силы, остается постоянной (сохраняется).

Этот закон является частным случаем закона изменения механической энергии. Для его выполнения должны соблюдаться два условия:

1. Система должна быть замкнутой (изолированной), то есть на нее не должны действовать внешние силы, или их суммарная работа должна быть равна нулю ($A_{внеш} = 0$).

2. Внутри системы должны действовать только консервативные силы (такие как сила тяжести или сила упругости). Это означает, что работа неконсервативных сил (сил трения, сопротивления) равна нулю ($A_{неконс} = 0$).

При выполнении этих условий изменение полной механической энергии равно нулю ($\Delta E = 0$), что означает ее постоянство:

$E = E_к + E_п = \text{const}$

Это равенство можно записать для двух произвольных моментов времени (состояний 1 и 2):

$E_{к1} + E_{п1} = E_{к2} + E_{п2}$

Закон означает, что в такой системе энергия может переходить из кинетической в потенциальную и обратно, но их сумма всегда остается неизменной.

Ответ: В замкнутой системе, где действуют только консервативные силы, полная механическая энергия, равная сумме кинетической и потенциальной энергий, сохраняется, то есть не изменяется с течением времени.

3. Сформулируйте закон сохранения механической энергии. Запишите его в виде уравнения.

Закон сохранения механической энергии гласит: если в системе тел действуют только консервативные силы (такие как сила тяжести и сила упругости) и отсутствуют внешние неконсервативные силы (например, сила трения), то полная механическая энергия этой системы остается постоянной.

Полная механическая энергия $E$ представляет собой сумму кинетической энергии $E_k$ и потенциальной энергии $E_p$ системы.

В виде уравнения закон сохранения механической энергии записывается как:

$E = E_k + E_p = \text{const}$

Это уравнение означает, что для любых двух состояний системы (например, в моменты времени $t_1$ и $t_2$) ее полная механическая энергия одинакова:

$E_1 = E_2$

В развернутом виде для одного тела это уравнение выглядит так:

$E_{k1} + E_{p1} = E_{k2} + E_{p2}$

где $E_{k1}$ и $E_{p1}$ — кинетическая и потенциальная энергии тела в начальном состоянии, а $E_{k2}$ и $E_{p2}$ — в конечном состоянии.

Например, для тела массой $m$, движущегося в поле тяжести, формула будет такой:

$\frac{mv_1^2}{2} + mgh_1 = \frac{mv_2^2}{2} + mgh_2$

Ответ: В замкнутой системе тел, где действуют только консервативные силы, полная механическая энергия, равная сумме кинетической и потенциальной энергий, сохраняется (остается постоянной). Уравнение: $E_k + E_p = \text{const}$ или $E_{k1} + E_{p1} = E_{k2} + E_{p2}$.

4. Да, потенциальная или кинетическая энергия тела могут меняться с течением времени, даже если его полная механическая энергия сохраняется. Закон сохранения утверждает, что их сумма остается постоянной. Это означает, что один вид энергии может превращаться в другой, в то время как их общее количество не меняется.

Пример: Свободное падение камня или колебания математического маятника (при пренебрежении сопротивлением воздуха).

Рассмотрим подброшенный вверх мяч. В момент броска у поверхности земли его скорость максимальна, а значит, максимальна и его кинетическая энергия ($E_k = \frac{mv^2}{2}$). Потенциальную энергию ($E_p = mgh$) на этом уровне можно принять за ноль.

По мере подъема мяча его скорость уменьшается, а высота увеличивается. Следовательно, его кинетическая энергия уменьшается, а потенциальная энергия растет. Происходит переход кинетической энергии в потенциальную.

В верхней точке траектории скорость мяча на мгновение становится равной нулю, поэтому его кинетическая энергия равна нулю. Вся механическая энергия в этот момент является потенциальной и она максимальна.

При последующем падении происходит обратный процесс: высота уменьшается (уменьшается потенциальная энергия), а скорость растет (растет кинетическая энергия). На протяжении всего полета сумма кинетической и потенциальной энергий $E_k + E_p$ остается постоянной.

Ответ: Да, могут. Сохранение полной механической энергии означает, что ее составляющие — кинетическая и потенциальная энергии — могут переходить друг в друга, изменяясь во времени, но их сумма остается неизменной. Пример: при полете подброшенного мяча его кинетическая энергия превращается в потенциальную при подъеме и обратно при падении.

4. Может ли меняться с течением времени потенциальная или кинетическая энергия замкнутой системы?

Да, потенциальная и кинетическая энергия замкнутой системы могут меняться с течением времени. Ключевым моментом здесь является закон сохранения полной механической энергии.

Замкнутой (или изолированной) механической системой называют систему тел, на которую не действуют внешние силы, или действие этих сил скомпенсировано. Если внутри такой системы действуют только консервативные силы (например, сила тяжести или сила упругости), то полная механическая энергия системы сохраняется, то есть остается постоянной.

Полная механическая энергия ($E_{полная}$) является суммой кинетической ($E_к$) и потенциальной ($E_п$) энергий:

$E_{полная} = E_к + E_п = \text{const}$

Из этого уравнения следует, что хотя сумма $E_к$ и $E_п$ остается неизменной, сами слагаемые могут изменяться. Происходит взаимное превращение одного вида энергии в другой. Если потенциальная энергия системы уменьшается, то ее кинетическая энергия должна на столько же возрасти, и наоборот.

Рассмотрим простой пример: падение камня с некоторой высоты $h$ в поле тяготения Земли. Систему «Земля-камень» можно считать замкнутой (пренебрегая сопротивлением воздуха).

• В начальный момент времени, когда камень находится на максимальной высоте $h$ и его скорость равна нулю, его потенциальная энергия $E_п = mgh$ максимальна, а кинетическая энергия $E_к = \frac{mv^2}{2}$ равна нулю.
• В процессе падения высота камня уменьшается, а скорость увеличивается. Это означает, что его потенциальная энергия уменьшается, а кинетическая энергия растет.
• В момент перед ударом о землю (примем эту высоту за нулевой уровень), потенциальная энергия становится равной нулю, а кинетическая энергия достигает своего максимального значения.

Таким образом, в течение всего процесса падения и потенциальная, и кинетическая энергия камня непрерывно меняются, в то время как их сумма — полная механическая энергия — остается постоянной.

Ответ: Да, в замкнутой системе, где действуют консервативные силы, потенциальная и кинетическая энергии могут изменяться с течением времени, переходя друг в друга, однако их сумма (полная механическая энергия) остается постоянной.

При спуске по канату рекомендуется двигаться, перехватывая его руками, а не скользя руками по поверхности каната. Почему?

Этот совет связан с физическим явлением трения и выделением теплоты при совершении работы.

Когда человек спускается по канату, скользя по нему руками, между ладонями и поверхностью каната действует сила трения скольжения ($F_{тр}$). Эта сила совершает механическую работу ($A$), так как руки перемещаются относительно каната на расстояние ($s$). Работа силы трения рассчитывается по формуле:

$A = F_{тр} \cdot s$

Согласно закону сохранения энергии, работа, совершаемая силой трения, преобразуется в другие виды энергии, в данном случае — преимущественно во внутреннюю энергию (теплоту). Количество выделившейся теплоты ($Q$) равно совершенной работе:

$Q = A$

Чем длиннее спуск и чем сильнее человек сжимает канат (что увеличивает силу нормальной реакции и, следовательно, силу трения), тем больше работы совершает сила трения и тем больше теплоты выделяется. Этот процесс происходит очень быстро, и выделившаяся теплота может быть настолько значительной, что вызовет сильные ожоги ладоней.

Когда же человек спускается, поочередно перехватывая канат руками, он использует в основном силу трения покоя, чтобы удерживать вес своего тела. В моменты, когда одна или обе руки крепко держат канат, перемещения нет, и работа силой трения не совершается ($s = 0$), соответственно, теплота не выделяется. Перемещение одной руки вниз происходит при ослабленном хвате, либо пока вторая рука удерживает вес, что значительно снижает силу трения и, как следствие, количество выделяемой теплоты. Этот метод позволяет контролировать скорость спуска и избежать травм.

Ответ: При скольжении рук по канату из-за работы силы трения выделяется большое количество теплоты, что может вызвать сильные ожоги ладоней. Метод перехватывания каната позволяет избежать длительного трения и опасного нагрева рук, делая спуск безопасным.

1. Решите рассмотренную в параграфе задачу (пример 2) без использования закона сохранения механической энергии.

Поскольку условие задачи "пример 2" не приведено, решим типичную задачу, которая демонстрируется с помощью закона сохранения энергии: нахождение скорости тела, соскальзывающего без трения с наклонной плоскости.

Дано:

Масса тела: $m$

Высота наклонной плоскости: $h$

Угол наклона плоскости к горизонту: $\alpha$

Начальная скорость: $v_0 = 0$ (тело начинает движение из состояния покоя)

Ускорение свободного падения: $g$

Трение отсутствует.

Найти:

Скорость тела у основания наклонной плоскости: $v$.

Решение:

Решим задачу, используя второй закон Ньютона и кинематические уравнения, без применения закона сохранения энергии.

На тело, находящееся на наклонной плоскости, действуют две силы: сила тяжести $\vec{F_т} = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная перпендикулярно поверхности наклонной плоскости.

Выберем систему координат. Направим ось OX параллельно наклонной плоскости вниз, а ось OY — перпендикулярно ей вверх.

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:

$m\vec{a} = \vec{F_т} + \vec{N}$

Спроецируем это уравнение на выбранные оси координат. Сила тяжести $\vec{F_т}$ имеет две составляющие:

• Проекция на ось OX: $F_{тx} = mg \sin\alpha$
• Проекция на ось OY: $F_{тy} = -mg \cos\alpha$

Уравнения движения в проекциях на оси будут выглядеть так:

На ось OX: $ma = mg \sin\alpha$

На ось OY: $0 = N - mg \cos\alpha$ (так как движение вдоль оси OY отсутствует)

Из уравнения для оси OX находим ускорение тела:

$a = g \sin\alpha$

Поскольку ускорение постоянно, движение тела является равноускоренным. Для нахождения конечной скорости воспользуемся кинематической формулой, связывающей перемещение, начальную и конечную скорости и ускорение:

$v^2 - v_0^2 = 2as$

где $s$ — это путь, пройденный телом, то есть длина наклонной плоскости. Так как начальная скорость $v_0 = 0$, формула упрощается:

$v^2 = 2as$

Длину наклонной плоскости $s$ можно выразить через ее высоту $h$ и угол наклона $\alpha$ с помощью тригонометрических соотношений:

$\sin\alpha = \frac{h}{s} \implies s = \frac{h}{\sin\alpha}$

Подставим выражения для ускорения $a$ и пути $s$ в формулу для скорости:

$v^2 = 2 \cdot (g \sin\alpha) \cdot \left(\frac{h}{\sin\alpha}\right)$

Сократив $\sin\alpha$, получим:

$v^2 = 2gh$

Отсюда находим конечную скорость тела у основания наклонной плоскости:

$v = \sqrt{2gh}$

Как видно, результат не зависит от массы тела и угла наклона плоскости, а определяется только высотой, с которой тело начало движение. Этот же результат получается и при использовании закона сохранения механической энергии.

Ответ: $v = \sqrt{2gh}$

2. Оторвавшаяся от крыши сосулька падает с высоты h₀ = 36 м от земли. Какую скорость v она будет иметь на высоте h = 31 м? (Принять g = 10 м/с².)

Дано:

Начальная высота: $h_0 = 36$ м

Конечная высота: $h = 31$ м

Начальная скорость: $v_0 = 0$ м/с (поскольку сосулька оторвалась и начала падать)

Ускорение свободного падения: $g = 10$ м/с²

Найти:

Скорость на высоте $h$: $v$ — ?

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения полной механической энергии. Так как сопротивлением воздуха можно пренебречь, полная механическая энергия сосульки в любой точке траектории остается постоянной. Полная механическая энергия $E$ складывается из кинетической энергии $K$ и потенциальной энергии $U$.

В начальный момент времени (на высоте $h_0$) полная энергия сосульки $E_0$ равна:

$E_0 = K_0 + U_0 = \frac{mv_0^2}{2} + mgh_0$

Поскольку сосулька начинает падать из состояния покоя, ее начальная скорость $v_0 = 0$. Следовательно, начальная кинетическая энергия $K_0 = 0$.

$E_0 = mgh_0$

В момент времени, когда сосулька находится на высоте $h$, ее полная энергия $E$ равна:

$E = K + U = \frac{mv^2}{2} + mgh$

Согласно закону сохранения энергии, $E_0 = E$:

$mgh_0 = \frac{mv^2}{2} + mgh$

Массу $m$ можно сократить в обеих частях уравнения:

$gh_0 = \frac{v^2}{2} + gh$

Выразим из этого уравнения искомую скорость $v$:

$\frac{v^2}{2} = gh_0 - gh = g(h_0 - h)$

$v^2 = 2g(h_0 - h)$

$v = \sqrt{2g(h_0 - h)}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу:

$v = \sqrt{2 \cdot 10 \frac{м}{с^2} \cdot (36 \text{ м} - 31 \text{ м})} = \sqrt{20 \frac{м}{с^2} \cdot 5 \text{ м}} = \sqrt{100 \frac{м^2}{с^2}} = 10 \frac{м}{с}$

Ответ: скорость сосульки на высоте 31 м будет равна $10$ м/с.

3. Шарик вылетает из детского пружинного пистолета вертикально вверх с начальной скоростью v₀ = 5 м/с. На какую высоту от места вылета он поднимется? (Принять g = 10 м/с².)

Дано:

Начальная скорость, $v_0 = 5$ м/с.

Ускорение свободного падения, $g = 10$ м/с².

Все данные уже в системе СИ.

Найти:

Максимальную высоту подъема, $h_{max}$ - ?

Решение:

Движение шарика вертикально вверх — это равнозамедленное движение. Ускорение шарика равно ускорению свободного падения $g$ и направлено вниз, то есть против начальной скорости. В верхней точке траектории, на максимальной высоте, скорость шарика становится равной нулю ($v = 0$).

Для нахождения максимальной высоты подъема можно использовать формулу для перемещения при равноускоренном движении, которая не содержит времени:

$h = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}$

В нашем случае перемещение $h$ равно искомой высоте $h_{max}$, конечная скорость $v = 0$, а ускорение $a = -g$ (знак "минус" указывает на то, что ускорение направлено противоположно начальной скорости).

Подставим эти значения в формулу:

$h_{max} = \frac{0^2 - v_0^2}{2(-g)} = \frac{-v_0^2}{-2g} = \frac{v_0^2}{2g}$

Теперь выполним вычисления, подставив числовые значения из условия:

$h_{max} = \frac{(5 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{25 \text{ м}^2/\text{с}^2}{20 \text{ м/с}^2} = 1,25 \text{ м}$

Эту же задачу можно решить, используя закон сохранения механической энергии. В момент вылета (примем этот уровень за нулевой) шарик обладает только кинетической энергией $E_k = \frac{mv_0^2}{2}$. На максимальной высоте скорость шарика равна нулю, и вся его энергия является потенциальной $E_p = mgh_{max}$.

Согласно закону сохранения энергии:

$E_k = E_p$

$\frac{mv_0^2}{2} = mgh_{max}$

Сократив массу $m$ в обеих частях уравнения, получим ту же формулу для высоты:

$h_{max} = \frac{v_0^2}{2g}$

Расчеты приводят к тому же результату: $h_{max} = 1,25$ м.

Ответ: шарик поднимется на высоту 1,25 м.

4. Один из мальчиков утверждал, что, спускаясь с горы высотой 20 м на лыжах, он развил скорость 100 км/ч. Правдоподобно ли его утверждение?

Дано:

Высота горы $h = 20$ м

Заявленная скорость $v_{заявл} = 100$ км/ч

Переведем заявленную скорость в систему СИ:

$v_{заявл} = 100 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 100 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} \approx 27,8 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Найти:

Правдоподобность утверждения.

Решение:

Чтобы оценить правдоподобность утверждения, найдем максимально возможную скорость, которую мог бы развить лыжник, спускаясь с горы данной высоты. Эта скорость достигается в идеальном случае, когда вся начальная потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию, то есть при полном отсутствии сил трения и сопротивления воздуха.

Воспользуемся законом сохранения механической энергии. В начальный момент времени (на вершине горы) лыжник обладает потенциальной энергией $E_p$, и будем считать, что его начальная скорость равна нулю (кинетическая энергия $E_k$ равна нулю). В конечный момент времени (у подножия горы) его потенциальная энергия равна нулю (если принять высоту подножия за нулевой уровень), а кинетическая энергия максимальна.

Начальная энергия: $E_{начальная} = E_p = mgh$, где $m$ – масса мальчика, $g$ – ускорение свободного падения ($g \approx 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$), $h$ – высота горы.

Конечная энергия: $E_{конечная} = E_k = \frac{mv_{max}^2}{2}$, где $v_{max}$ – максимально возможная скорость у подножия горы.

Согласно закону сохранения энергии в идеальном случае:

$E_{начальная} = E_{конечная}$

$mgh = \frac{mv_{max}^2}{2}$

Масса $m$ сокращается, и мы можем выразить максимальную скорость:

$v_{max} = \sqrt{2gh}$

Подставим числовые значения:

$v_{max} = \sqrt{2 \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 20 \text{ м}} = \sqrt{392} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 19,8 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Теперь сравним максимально возможную скорость с заявленной скоростью мальчика:

$v_{max} \approx 19,8 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$v_{заявл} \approx 27,8 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Как мы видим, $v_{заявл} > v_{max}$.

Заявленная мальчиком скорость ($27,8 \frac{\text{м}}{\text{с}}$) превышает максимально возможную скорость ($19,8 \frac{\text{м}}{\text{с}}$), которую можно было бы развить в идеальных условиях без учета трения и сопротивления воздуха. В реальных условиях часть энергии всегда теряется на преодоление этих сил, поэтому действительная скорость была бы еще меньше. Следовательно, утверждение мальчика неправдоподобно, так как оно противоречит закону сохранения энергии.

Ответ: утверждение мальчика неправдоподобно.

5. Сосулька массой 100 г падает с высоты 20 м. Чему равен её импульс в момент падения? Какова её кинетическая энергия?

Дано:

Масса сосульки, $m = 100 \text{ г}$

Высота падения, $h = 20 \text{ м}$

Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Перевод в систему СИ:

$m = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг}$

Найти:

Импульс в момент падения, $p - ?$

Кинетическая энергия в момент падения, $E_k - ?$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии. При падении сосульки с некоторой высоты её начальная потенциальная энергия полностью переходит в кинетическую энергию в момент соприкосновения с землей (при условии, что сопротивление воздуха пренебрежимо мало).

Начальная потенциальная энергия сосульки на высоте $h$ вычисляется по формуле: $E_p = mgh$

Кинетическая энергия в момент падения (у самой земли) вычисляется по формуле: $E_k = \frac{1}{2}mv^2$

Согласно закону сохранения энергии: $E_p = E_k$ $mgh = \frac{1}{2}mv^2$

Какова её кинетическая энергия?

Кинетическую энергию сосульки в момент падения можно найти, вычислив её начальную потенциальную энергию, так как вся она перейдет в кинетическую. $E_k = m \cdot g \cdot h$

Подставим числовые значения: $E_k = 0.1 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 20 \text{ м} = 20 \text{ Дж}$

Ответ: кинетическая энергия сосульки в момент падения равна $20 \text{ Дж}$.

Чему равен её импульс в момент падения?

Импульс тела определяется по формуле $p = mv$, где $v$ — это скорость тела в момент падения. Сначала найдем эту скорость. Мы можем выразить её из формулы для кинетической энергии, которую мы уже нашли. $E_k = \frac{1}{2}mv^2$

Выразим из этой формулы скорость $v$: $v^2 = \frac{2E_k}{m}$

$v = \sqrt{\frac{2E_k}{m}}$

Подставим значения $E_k$ и $m$: $v = \sqrt{\frac{2 \cdot 20 \text{ Дж}}{0.1 \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{40}{0.1}} \text{ м/с} = \sqrt{400} \text{ м/с} = 20 \text{ м/с}$

Теперь, зная массу и скорость сосульки в момент падения, мы можем рассчитать её импульс: $p = m \cdot v$

$p = 0.1 \text{ кг} \cdot 20 \text{ м/с} = 2 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$

Ответ: импульс сосульки в момент падения равен $2 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.

6. Пластилиновый шарик сталкивается с таким же шариком, движущимся навстречу ему с такой же скоростью (рис. 95). Чему равна скорость шариков после столкновения? Чему равно изменение кинетической энергии шариков в результате их столкновения?

Дано:

$m_1 = 20 \text{ г}$

$v_1 = 2 \text{ м/с}$

$m_2 = 20 \text{ г}$ (такой же шарик)

$v_2 = 2 \text{ м/с}$ (такая же скорость)

$m_1 = 0.02 \text{ кг}$

$m_2 = 0.02 \text{ кг}$

Найти:

$v' - ?$

$\Delta E_k - ?$

Решение:

Чему равна скорость шариков после столкновения?

Поскольку шарики пластилиновые, их столкновение является абсолютно неупругим. Это означает, что после столкновения они слипаются и движутся как единое целое. Для замкнутой системы тел, какой являются два шарика в момент столкновения, выполняется закон сохранения импульса.

Направим ось OX вправо, по направлению движения первого шарика. Тогда проекции скоростей шариков на эту ось до столкновения будут $v_{1x} = v_1$, а $v_{2x} = -v_2$, так как второй шарик движется навстречу первому.

Запишем закон сохранения импульса в векторной форме и в проекции на ось OX:

$m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} = (m_1+m_2)\vec{v'}$

$m_1v_1 - m_2v_2 = (m_1+m_2)v'$

где $v'$ — скорость шариков после столкновения.

Подставим числовые значения в систему СИ:

$0.02 \text{ кг} \cdot 2 \text{ м/с} - 0.02 \text{ кг} \cdot 2 \text{ м/с} = (0.02 \text{ кг} + 0.02 \text{ кг}) \cdot v'$

$0.04 \text{ кг} \cdot \text{м/с} - 0.04 \text{ кг} \cdot \text{м/с} = 0.04 \text{ кг} \cdot v'$

$0 = 0.04 \cdot v'$

$v' = 0 \text{ м/с}$

Это означает, что после столкновения шарики остановятся.

Ответ: скорость шариков после столкновения равна 0 м/с.

Чему равно изменение кинетической энергии шариков в результате их столкновения?

Изменение кинетической энергии $\Delta E_k$ системы равно разности конечной и начальной кинетических энергий.

$\Delta E_k = E_{k_{после}} - E_{k_{до}}$

Найдем начальную кинетическую энергию системы как сумму кинетических энергий двух шариков до столкновения:

$E_{k_{до}} = \frac{m_1v_1^2}{2} + \frac{m_2v_2^2}{2}$

$E_{k_{до}} = \frac{0.02 \text{ кг} \cdot (2 \text{ м/с})^2}{2} + \frac{0.02 \text{ кг} \cdot (2 \text{ м/с})^2}{2}$

$E_{k_{до}} = \frac{0.02 \cdot 4}{2} + \frac{0.02 \cdot 4}{2} = 0.04 \text{ Дж} + 0.04 \text{ Дж} = 0.08 \text{ Дж}$

Найдем конечную кинетическую энергию системы. Так как после столкновения шарики остановились ($v' = 0 \text{ м/с}$), их общая конечная кинетическая энергия равна нулю.

$E_{k_{после}} = \frac{(m_1+m_2)v'^2}{2} = \frac{(0.02+0.02) \cdot 0^2}{2} = 0 \text{ Дж}$

Теперь найдем изменение кинетической энергии:

$\Delta E_k = E_{k_{после}} - E_{k_{до}} = 0 \text{ Дж} - 0.08 \text{ Дж} = -0.08 \text{ Дж}$

Знак минус показывает, что кинетическая энергия системы уменьшилась. Эта энергия перешла во внутреннюю энергию (нагревание) и пошла на деформацию пластилиновых шариков.

Ответ: изменение кинетической энергии шариков равно -0.08 Дж.

Задание 9. Придумайте способ определения скорости вытекания воды из шланга.

Для определения скорости вытекания воды из шланга можно использовать метод, основанный на измерении объемного расхода жидкости. Суть метода заключается в том, чтобы измерить, какой объем воды вытекает из шланга за определенный промежуток времени, а также измерить площадь поперечного сечения выходного отверстия шланга.

Необходимое оборудование:

• Шланг, из которого течет вода.
• Сосуд с известным объемом или с нанесенными метками объема (например, мерный стакан, ведро, банка).
• Секундомер (можно использовать таймер в телефоне).
• Линейка или, для большей точности, штангенциркуль.

Порядок проведения измерений (эксперимента):

1. С помощью линейки или штангенциркуля необходимо измерить внутренний диаметр $d$ выходного отверстия шланга.
2. Включить воду. Поток должен быть постоянным и не меняться во время эксперимента.
3. Взять пустой измерительный сосуд. Одновременно с тем, как подставить сосуд под струю воды, нужно запустить секундомер.
4. Когда сосуд наполнится до определенной метки (до объема $V$), нужно остановить секундомер и зафиксировать полученное время $t$.
5. Для уменьшения погрешности измерений рекомендуется повторить опыт 3-5 раз и найти среднее значение времени наполнения.

Для наглядности представим дальнейшие действия в виде решения физической задачи.

Дано:

$V$ — объем воды, собранный в сосуде.

$t$ — время, за которое этот объем был собран.

$d$ — внутренний диаметр шланга.

Перевод в систему СИ:

Перед расчетом все измеренные величины необходимо перевести в Международную систему единиц (СИ). Объем $V$ — в кубические метры ($м^3$), время $t$ — в секунды ($с$), диаметр $d$ — в метры ($м$).

Например: $1 \, л = 10^{-3} \, м^3$; $1 \, мм = 10^{-3} \, м$.

Найти:

$v$ — скорость вытекания воды из шланга ($м/с$).

Решение:

1. Объемный расход воды $Q$ — это физическая величина, равная объему жидкости, протекающей через поперечное сечение за единицу времени. Его можно найти, разделив собранный объем $V$ на время сбора $t$.

$Q = \frac{V}{t}$

2. Площадь $S$ поперечного сечения выходного отверстия шланга, которое мы считаем круглым, вычисляется по формуле площади круга:

$S = \pi r^2$, где $r$ — это внутренний радиус шланга.

Поскольку радиус — это половина диаметра ($r = d/2$), формулу можно переписать так:

$S = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$

3. С другой стороны, объемный расход связан со скоростью потока $v$ и площадью сечения $S$ следующим соотношением (уравнение неразрывности):

$Q = S \cdot v$

4. Теперь мы можем приравнять два выражения для объемного расхода $Q$:

$\frac{V}{t} = S \cdot v$

5. Из этого равенства выразим искомую скорость $v$, подставив выражение для площади $S$:

$v = \frac{V}{S \cdot t} = \frac{V}{\frac{\pi d^2}{4} \cdot t}$

Упростив выражение, получаем конечную расчетную формулу:

$v = \frac{4V}{\pi d^2 t}$

Ответ: Для определения скорости вытекания воды из шланга нужно измерить объем $V$, который натекает за время $t$, и внутренний диаметр шланга $d$. Затем, подставив эти значения (в единицах СИ) в формулу $v = \frac{4V}{\pi d^2 t}$, можно рассчитать искомую скорость.