Ответьте на вопросы, страница 16 - гдз по физике 9 класс учебник Закирова, Аширов

Ответьте на вопросы

1. Почему для определения модуля вектора при использовании координатного метода всегда используется теорема Пифагора?

2. Почему проекция вектора равна нулю, если он расположен перпендикулярно оси?

1. Почему для определения модуля вектора при использовании координатного метода всегда используется теорема Пифагора?

При использовании координатного метода вектор раскладывается на составляющие (проекции) по взаимно перпендикулярным осям координат (например, Ox, Oy, Oz). Эти проекции вместе с самим вектором образуют пространственную структуру, в основе которой лежат прямоугольные треугольники.
Рассмотрим для простоты двумерный случай (на плоскости). Пусть есть вектор `$\vec{a}$` с координатами `$(a_x, a_y)$`. Его проекции на оси Ox и Oy равны `$a_x$` и `$a_y$` соответственно. Если отложить вектор `$\vec{a}$` от начала координат, то его конец будет иметь координаты `$(a_x, a_y)$`. Вектор `$\vec{a}$`, его проекция на ось Ox (длиной `$|a_x|$`) и отрезок, параллельный оси Oy (длиной `$|a_y|$`), образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике проекции являются катетами, а сам вектор `$\vec{a}$` — гипотенузой.
Модуль вектора — это его длина, то есть длина гипотенузы этого треугольника. Согласно теореме Пифагора, квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:
`$|\vec{a}|^2 = a_x^2 + a_y^2$`
Отсюда, модуль вектора `$\vec{a}$` равен:
`$|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$`
Этот же принцип применяется и для трехмерного пространства, где модуль вектора `$\vec{a}$` с проекциями `$(a_x, a_y, a_z)$` вычисляется как `$|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$`, что является последовательным применением теоремы Пифагора.
Таким образом, использование теоремы Пифагора является прямым следствием того, что координатные оси по определению ортогональны (перпендикулярны) друг другу, что позволяет рассматривать вектор и его проекции как стороны прямоугольного треугольника.

Ответ: Потому что в декартовой системе координат проекции вектора на оси являются катетами прямоугольного треугольника, а сам вектор — его гипотенузой. Модуль вектора — это его длина, которая по определению вычисляется через длины катетов с помощью теоремы Пифагора.

2. Почему проекция вектора равна нулю, если он расположен перпендикулярно оси?

Проекция вектора на ось — это скалярная величина, которая по определению вычисляется по формуле:
`$a_l = |\vec{a}| \cos\alpha$`
где `$a_l$` — проекция вектора `$\vec{a}$` на ось `$l$`, `$|\vec{a}|$` — модуль (длина) вектора `$\vec{a}$`, а `$\alpha$` — угол между направлением вектора `$\vec{a}$` и положительным направлением оси `$l$`.
Если вектор `$\vec{a}$` расположен перпендикулярно оси `$l$`, это означает, что угол `$\alpha$` между ними равен `$90^\circ$` (или `$\pi/2$` в радианах).
Косинус угла `$90^\circ$` равен нулю:
`$\cos(90^\circ) = 0$`
Подставив это значение в формулу для проекции, получим:
`$a_l = |\vec{a}| \cdot \cos(90^\circ) = |\vec{a}| \cdot 0 = 0$`
Геометрически это можно представить так: проекция вектора на ось — это "тень", которую отбрасывает вектор на эту ось. Если вектор перпендикулярен оси, то его начало и конец проецируются в одну и ту же точку на этой оси. Длина отрезка, соединяющего две совпадающие точки, равна нулю, следовательно, и проекция равна нулю.

Ответ: Проекция вектора на ось вычисляется по формуле `$a_l = |\vec{a}| \cos\alpha$`. Если вектор перпендикулярен оси, то угол `$\alpha$` равен `$90^\circ$`, а `$\cos(90^\circ) = 0$`. В результате произведение, а следовательно и проекция, обращается в нуль.