Номер 3, страница 47 - гдз по физике 9 класс учебник Закирова, Аширов

3. Две материальные точки движутся по окружности радиусами $R_1$ и $R_2$, причем $R_1 = 2R_2$. Сравните их центростремительные ускорения в случаях:

а) равенства их скоростей;

б) равенства их периодов.

Дано:

Две материальные точки движутся по окружностям.

Радиус первой окружности: $R_1$

Радиус второй окружности: $R_2$

Соотношение радиусов: $R_1 = 2R_2$

Найти:

Сравнить центростремительные ускорения точек $a_{c1}$ и $a_{c2}$ в двух случаях.

Решение:

Центростремительное ускорение $a_c$ при движении по окружности можно найти по двум основным формулам:

1. Через линейную скорость $v$ и радиус $R$: $a_c = \frac{v^2}{R}$

2. Через период обращения $T$ и радиус $R$: $a_c = \frac{4\pi^2 R}{T^2}$

Рассмотрим оба случая, указанные в задаче.

а) равенства их скоростей

В этом случае линейные скорости точек одинаковы: $v_1 = v_2 = v$.

Запишем формулы для центростремительных ускорений первой и второй точек, используя выражение через скорость:

$a_{c1} = \frac{v_1^2}{R_1} = \frac{v^2}{R_1}$

$a_{c2} = \frac{v_2^2}{R_2} = \frac{v^2}{R_2}$

Чтобы сравнить ускорения, найдем их отношение:

$\frac{a_{c1}}{a_{c2}} = \frac{\frac{v^2}{R_1}}{\frac{v^2}{R_2}} = \frac{v^2}{R_1} \cdot \frac{R_2}{v^2} = \frac{R_2}{R_1}$

Теперь подставим в полученное выражение заданное в условии соотношение радиусов $R_1 = 2R_2$:

$\frac{a_{c1}}{a_{c2}} = \frac{R_2}{2R_2} = \frac{1}{2}$

Из этого следует, что $a_{c2} = 2a_{c1}$ или $a_{c1} = \frac{1}{2}a_{c2}$.

Это означает, что при равенстве линейных скоростей центростремительное ускорение второй точки в 2 раза больше, чем у первой.

Ответ: Ускорение второй точки в 2 раза больше ускорения первой ($a_{c2} = 2a_{c1}$).

б) равенства их периодов

В этом случае периоды обращения точек одинаковы: $T_1 = T_2 = T$.

Запишем формулы для центростремительных ускорений, используя выражение через период:

$a_{c1} = \frac{4\pi^2 R_1}{T_1^2} = \frac{4\pi^2 R_1}{T^2}$

$a_{c2} = \frac{4\pi^2 R_2}{T_2^2} = \frac{4\pi^2 R_2}{T^2}$

Снова найдем отношение ускорений:

$\frac{a_{c1}}{a_{c2}} = \frac{\frac{4\pi^2 R_1}{T^2}}{\frac{4\pi^2 R_2}{T^2}} = \frac{4\pi^2 R_1}{T^2} \cdot \frac{T^2}{4\pi^2 R_2} = \frac{R_1}{R_2}$

Подставим соотношение радиусов $R_1 = 2R_2$:

$\frac{a_{c1}}{a_{c2}} = \frac{2R_2}{R_2} = 2$

Из этого следует, что $a_{c1} = 2a_{c2}$.

Это означает, что при равенстве периодов центростремительное ускорение первой точки в 2 раза больше, чем у второй.

Ответ: Ускорение первой точки в 2 раза больше ускорения второй ($a_{c1} = 2a_{c2}$).