Задание 2, страница 45 - гдз по физике 9 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 2

Определите ускорения, с которыми вокруг Земли движутся Луна и спутник связи, находящийся на геостационарной орбите радиусом 35 786 км.

Для определения ускорений спутника и Луны, движущихся по круговым орбитам вокруг Земли, мы воспользуемся формулой для центростремительного ускорения. Центростремительное ускорение $a$ тела, вращающегося по окружности радиусом $R$ с периодом обращения $T$, вычисляется по формуле:

$a = \frac{4\pi^2 R}{T^2}$

Это ускорение создается силой всемирного тяготения, действующей со стороны Земли.

Ускорение спутника связи

В условии задачи указано, что спутник находится на геостационарной орбите радиусом 35 786 км. Однако это значение является стандартной высотой геостационарной орбиты над поверхностью Земли, а не радиусом от центра Земли. Радиус орбиты следует считать от центра Земли. Геостационарная орбита — это орбита, на которой спутник вращается с угловой скоростью, равной угловой скорости вращения Земли, и его период обращения равен одним сидерическим суткам.

Дано:

Высота геостационарной орбиты: $h_{сп} = 35 786 \text{ км}$

Средний радиус Земли: $R_З \approx 6371 \text{ км}$ (будем использовать это значение для большей точности, хотя можно использовать и экваториальный 6378 км)

Период обращения геостационарного спутника (сидерические сутки): $T_{сп} = 23 \text{ ч } 56 \text{ мин } 4 \text{ с}$

Перевод в СИ:

$h_{сп} = 35 786 \text{ км} = 35.786 \times 10^6 \text{ м}$

$R_З = 6371 \text{ км} = 6.371 \times 10^6 \text{ м}$

Радиус орбиты спутника: $R_{сп} = R_З + h_{сп} = 6.371 \times 10^6 \text{ м} + 35.786 \times 10^6 \text{ м} = 42.157 \times 10^6 \text{ м} = 4.2157 \times 10^7 \text{ м}$

$T_{сп} = 23 \times 3600 + 56 \times 60 + 4 = 86164 \text{ с}$

Найти:

Ускорение спутника $a_{сп}$.

Решение:

Подставим значения в формулу центростремительного ускорения:

$a_{сп} = \frac{4\pi^2 R_{сп}}{T_{сп}^2}$

$a_{сп} = \frac{4 \times (3.1416)^2 \times (4.2157 \times 10^7 \text{ м})}{(86164 \text{ с})^2} \approx \frac{39.4784 \times 4.2157 \times 10^7 \text{ м}}{7.4242 \times 10^9 \text{ с}^2} \approx \frac{1.6642 \times 10^9}{7.4242 \times 10^9} \text{ м/с}^2 \approx 0.224 \text{ м/с}^2$

Ответ: Ускорение спутника связи на геостационарной орбите составляет примерно $0.224 \text{ м/с}^2$.

Ускорение Луны

Для расчёта ускорения Луны воспользуемся справочными данными о её орбите вокруг Земли.

Дано:

Средний радиус орбиты Луны: $R_Л \approx 384 400 \text{ км}$

Сидерический период обращения Луны (время одного полного оборота вокруг Земли относительно звёзд): $T_Л \approx 27.32 \text{ суток}$

Перевод в СИ:

$R_Л = 384 400 \text{ км} = 3.844 \times 10^8 \text{ м}$

$T_Л = 27.32 \text{ суток} \times 24 \text{ ч/сутки} \times 3600 \text{ с/ч} = 2360448 \text{ с} \approx 2.36 \times 10^6 \text{ с}$

Найти:

Ускорение Луны $a_Л$.

Решение:

Подставим значения в формулу центростремительного ускорения:

$a_Л = \frac{4\pi^2 R_Л}{T_Л^2}$

$a_Л = \frac{4 \times (3.1416)^2 \times (3.844 \times 10^8 \text{ м})}{(2360448 \text{ с})^2} \approx \frac{39.4784 \times 3.844 \times 10^8 \text{ м}}{5.5717 \times 10^{12} \text{ с}^2} \approx \frac{1.5176 \times 10^{10}}{5.5717 \times 10^{12}} \text{ м/с}^2 \approx 0.00272 \text{ м/с}^2$

Ответ: Ускорение Луны при её движении вокруг Земли составляет примерно $0.00272 \text{ м/с}^2$ или $2.72 \times 10^{-3} \text{ м/с}^2$.