Задание 4, страница 105 - гдз по физике 9 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 4

Рассчитайте значение ускорения свободного падения тела на расстояниях, равных: , 4R, 5R, 6R от центра Земли. Изобразите графически зависимость ускорения свободного падения от расстояния.

Дано:

$r_1 = R$ (где $R$ - радиус Земли)

$r_2 = 4R$

$r_3 = 5R$

$r_4 = 6R$

Ускорение свободного падения на поверхности Земли (при $r = R$): $g_0 \approx 9.8 \, \text{м/с}^2$.

Найти:

$g_1, g_2, g_3, g_4$ — значения ускорения свободного падения на заданных расстояниях.

Изобразить график зависимости $g(r)$.

Решение:

Ускорение свободного падения $g$ на расстоянии $r$ от центра планеты массой $M$ определяется по формуле, вытекающей из закона всемирного тяготения:

$g(r) = G \frac{M}{r^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса Земли.

На поверхности Земли, то есть на расстоянии $R$ от ее центра, ускорение свободного падения равно $g_0$:

$g_0 = G \frac{M}{R^2}$

Из этой формулы можно выразить произведение $GM$: $GM = g_0 R^2$.

Подставим это выражение в общую формулу для $g(r)$:

$g(r) = \frac{g_0 R^2}{r^2} = g_0 \left(\frac{R}{r}\right)^2$

Эта формула показывает, как изменяется ускорение свободного падения с расстоянием. Теперь рассчитаем его значения для заданных расстояний, принимая $g_0 \approx 9.8 \, \text{м/с}^2$.

1. Расстояние $r_1 = R$:

$g_1 = g_0 \left(\frac{R}{R}\right)^2 = g_0 \cdot 1^2 = g_0 = 9.8 \, \text{м/с}^2$

2. Расстояние $r_2 = 4R$:

$g_2 = g_0 \left(\frac{R}{4R}\right)^2 = g_0 \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{g_0}{16} = \frac{9.8}{16} \approx 0.61 \, \text{м/с}^2$

3. Расстояние $r_3 = 5R$:

$g_3 = g_0 \left(\frac{R}{5R}\right)^2 = g_0 \left(\frac{1}{5}\right)^2 = \frac{g_0}{25} = \frac{9.8}{25} = 0.392 \, \text{м/с}^2$

4. Расстояние $r_4 = 6R$:

$g_4 = g_0 \left(\frac{R}{6R}\right)^2 = g_0 \left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{g_0}{36} = \frac{9.8}{36} \approx 0.27 \, \text{м/с}^2$

Графическая зависимость:

Зависимость ускорения свободного падения $g$ от расстояния $r$ от центра Земли ($g(r) = GM/r^2$) является обратной квадратичной зависимостью. Графиком этой функции является ветвь гиперболы, расположенная в первой координатной четверти.

Построим график, где:

• по оси абсцисс (горизонтальной) откладывается расстояние $r$ от центра Земли в единицах радиуса Земли $R$.
• по оси ординат (вертикальной) откладывается ускорение свободного падения $g$ в $м/с^2$.

Кривая начинается в точке $(R; 9.8)$. При увеличении расстояния $r$ значение $g$ быстро уменьшается. Кривая будет проходить через рассчитанные нами точки:

• При $r = R$, $g = 9.8 \, \text{м/с}^2$
• При $r = 4R$, $g \approx 0.61 \, \text{м/с}^2$
• При $r = 5R$, $g \approx 0.39 \, \text{м/с}^2$
• При $r = 6R$, $g \approx 0.27 \, \text{м/с}^2$

С дальнейшим увеличением $r$, кривая асимптотически приближается к оси абсцисс ($g$ стремится к нулю, когда $r$ стремится к бесконечности), но никогда ее не пересекает.

Ответ: Значения ускорения свободного падения на заданных расстояниях от центра Земли равны: на расстоянии $R$ — $9.8 \, \text{м/с}^2$; на расстоянии $4R$ — примерно $0.61 \, \text{м/с}^2$; на расстоянии $5R$ — примерно $0.39 \, \text{м/с}^2$; на расстоянии $6R$ — примерно $0.27 \, \text{м/с}^2$. Графиком зависимости ускорения от расстояния является ветвь гиперболы, показывающая обратную квадратичную зависимость.