Ответьте на вопросы, страница 120 - гдз по физике 9 класс учебник Закирова, Аширов

Ответьте на вопрос

Как определить ускорение, скорость, перемещение тел, взаимодействующих переменными силами?

Для определения кинематических характеристик (ускорения, скорости, перемещения) тела, движущегося под действием переменных сил, необходимо использовать методы дифференциального и интегрального исчисления, основываясь на втором законе Ньютона.

Ускорение

Определение ускорения основывается на втором законе Ньютона. Этот закон связывает силу, действующую на тело, его массу и ускорение. Если на тело действует переменная сила $\vec{F}$, которая может зависеть от времени, положения или скорости, то и ускорение тела $\vec{a}$ также будет переменным.

В любой момент времени мгновенное ускорение тела можно определить, разделив вектор мгновенной равнодействующей силы $\vec{F}(t)$ на массу тела $m$:

$\vec{a}(t) = \frac{\vec{F}(t)}{m}$

Таким образом, зная зависимость силы от времени (или других параметров), мы можем найти зависимость ускорения от времени.

Ответ: Ускорение тела в любой момент времени определяется по второму закону Ньютона как отношение мгновенного значения равнодействующей силы к массе тела $\vec{a}(t) = \vec{F}(t)/m$.

Скорость

Ускорение по определению является скоростью изменения скорости, то есть первой производной от скорости по времени: $\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt}$.

Чтобы найти скорость тела в любой момент времени $t$, необходимо выполнить операцию, обратную дифференцированию, — интегрирование. Изменение скорости $\Delta\vec{v}$ за промежуток времени от $0$ до $t$ равно интегралу от ускорения по времени на этом промежутке:

$\Delta\vec{v} = \vec{v}(t) - \vec{v}_0 = \int_{0}^{t} \vec{a}(t') dt'$

Отсюда, скорость тела в момент времени $t$ равна сумме его начальной скорости $\vec{v}_0$ (в момент $t=0$) и интеграла от ускорения:

$\vec{v}(t) = \vec{v}_0 + \int_{0}^{t} \vec{a}(t') dt'$

Если подставить выражение для ускорения через силу, получим:

$\vec{v}(t) = \vec{v}_0 + \frac{1}{m} \int_{0}^{t} \vec{F}(t') dt'$

Ответ: Скорость тела в момент времени $t$ находится путем интегрирования зависимости ускорения от времени и прибавления начальной скорости $\vec{v}(t) = \vec{v}_0 + \int_{0}^{t} \vec{a}(t') dt'$.

Перемещение

Скорость, в свою очередь, является скоростью изменения положения тела в пространстве, то есть производной от его радиус-вектора $\vec{r}$ по времени: $\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt}$.

Перемещение $\vec{s}(t)$ — это вектор, проведенный из начального положения тела в конечное, то есть $\vec{s}(t) = \vec{r}(t) - \vec{r}_0$. Для его нахождения необходимо проинтегрировать скорость по времени:

$\vec{s}(t) = \int_{0}^{t} \vec{v}(t') dt'$

Для нахождения положения тела $\vec{r}(t)$ в момент времени $t$ нужно к его начальному положению $\vec{r}_0$ прибавить перемещение:

$\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \int_{0}^{t} \vec{v}(t') dt'$

Подставив выражение для скорости, мы увидим, что для нахождения перемещения требуется двойное интегрирование ускорения:

$\vec{s}(t) = \int_{0}^{t} \left( \vec{v}_0 + \int_{0}^{t'} \vec{a}(t'') dt'' \right) dt' = \vec{v}_0 t + \int_{0}^{t} \left( \int_{0}^{t'} \vec{a}(t'') dt'' \right) dt'$

Ответ: Перемещение тела находится путем интегрирования его скорости по времени: $\vec{s}(t) = \int_{0}^{t} \vec{v}(t') dt'$. Это эквивалентно двойному интегрированию ускорения по времени с учетом начальной скорости.