Номер 3, страница 117 - гдз по физике 9 класс учебник Закирова, Аширов

3. Из окопа на уровне Земли под углом 45° к горизонту брошена граната с начальной скоростью 9,8 м/с. Определите расстояние между точками бросания и падения гранаты, принять $g = 9,8 \text{ м/с}^2$.

3. Дано:

Начальная скорость, $v_0 = 9,8 \text{ м/с}$
Угол броска к горизонту, $\alpha = 45^\circ$
Ускорение свободного падения, $g = 9,8 \text{ м/с}^2$

Все данные предоставлены в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

Расстояние между точками бросания и падения (дальность полета), $L$.

Решение:

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно рассматривать как сумму двух независимых движений: равномерного по горизонтали и равноускоренного по вертикали. Сопротивление воздуха не учитывается.

Разложим начальную скорость на горизонтальную ($v_{0x}$) и вертикальную ($v_{0y}$) составляющие:
$v_{0x} = v_0 \cos(\alpha)$
$v_{0y} = v_0 \sin(\alpha)$

Запишем уравнения движения тела по осям координат. Ось Ox направим горизонтально, ось Oy — вертикально вверх. Начало координат поместим в точку бросания.
Уравнение для горизонтальной координаты:
$x(t) = v_{0x}t = v_0 \cos(\alpha) t$
Уравнение для вертикальной координаты:
$y(t) = v_{0y}t - \frac{gt^2}{2} = v_0 \sin(\alpha) t - \frac{gt^2}{2}$

Дальность полета $L$ — это горизонтальная координата $x$ в момент времени $T$, когда тело возвращается на начальную высоту (уровень земли), то есть когда $y(T) = 0$.
Найдем полное время полета $T$ из условия $y(T) = 0$:
$v_0 \sin(\alpha) T - \frac{gT^2}{2} = 0$
$T \left( v_0 \sin(\alpha) - \frac{gT}{2} \right) = 0$
Это уравнение имеет два решения: $T_1 = 0$ (начальный момент времени) и $T_2 = \frac{2v_0 \sin(\alpha)}{g}$ (момент падения). Нас интересует второе решение.
$T = \frac{2v_0 \sin(\alpha)}{g}$

Теперь найдем дальность полета $L$, подставив время $T$ в уравнение для горизонтальной координаты:
$L = x(T) = v_0 \cos(\alpha) T = v_0 \cos(\alpha) \cdot \frac{2v_0 \sin(\alpha)}{g} = \frac{v_0^2 (2\sin(\alpha)\cos(\alpha))}{g}$
Применим тригонометрическую формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) $:
$L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу:
$L = \frac{(9,8 \text{ м/с})^2 \cdot \sin(2 \cdot 45^\circ)}{9,8 \text{ м/с}^2} = \frac{9,8^2 \cdot \sin(90^\circ)}{9,8}$
Поскольку $\sin(90^\circ) = 1$:
$L = \frac{9,8^2}{9,8} = 9,8 \text{ м}$

Ответ: расстояние между точками бросания и падения гранаты составляет $9,8 \text{ м}$.