Номер 4, страница 117 - гдз по физике 9 класс учебник Закирова, Аширов

4. Какую скорость должен иметь искусственный спутник, чтобы обращаться по круговой орбите на высоте 600 км над поверхностью Земли? Каков период его обращения?

Дано:

Высота орбиты спутника, $h = 600$ км

Средний радиус Земли, $R_З \approx 6371$ км

Масса Земли, $M_З \approx 5.972 \cdot 10^{24}$ кг

Гравитационная постоянная, $G \approx 6.674 \cdot 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2}$

Перевод в систему СИ:

$h = 600 \cdot 10^3 \text{ м} = 6 \cdot 10^5 \text{ м}$

$R_З = 6371 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.371 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Орбитальную скорость спутника $v$

Период обращения спутника $T$

Решение:

Спутник движется по круговой орбите под действием силы всемирного тяготения со стороны Земли. Эта сила является центростремительной, так как она сообщает спутнику центростремительное ускорение и удерживает его на орбите. По второму закону Ньютона:

$F_{т} = F_{ц}$

Сила тяготения ($F_{т}$) определяется законом всемирного тяготения:

$F_{т} = G \frac{M_З m}{r^2}$

Центростремительная сила ($F_{ц}$), действующая на спутник, равна:

$F_{ц} = \frac{m v^2}{r}$

В этих формулах $m$ — масса спутника, $v$ — его орбитальная скорость, $M_З$ — масса Земли, $G$ — гравитационная постоянная, а $r$ — радиус орбиты.

Радиус орбиты $r$ равен сумме радиуса Земли $R_З$ и высоты $h$ спутника над поверхностью:

$r = R_З + h$

Приравняем выражения для сил:

$G \frac{M_З m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$

Сократив массу спутника $m$ и радиус $r$ в знаменателе, получим выражение для квадрата орбитальной скорости:

$v^2 = \frac{G M_З}{r}$

Отсюда, первая космическая скорость для данной высоты орбиты:

$v = \sqrt{\frac{G M_З}{r}} = \sqrt{\frac{G M_З}{R_З + h}}$

Сначала вычислим радиус орбиты:

$r = 6.371 \cdot 10^6 \text{ м} + 6 \cdot 10^5 \text{ м} = 6.971 \cdot 10^6 \text{ м}$

Теперь подставим числовые значения в формулу для скорости:

$v = \sqrt{\frac{6.674 \cdot 10^{-11} \cdot 5.972 \cdot 10^{24}}{6.971 \cdot 10^6}} \approx \sqrt{\frac{3.986 \cdot 10^{14}}{6.971 \cdot 10^6}} \approx \sqrt{5.718 \cdot 10^7} \approx 7562 \text{ м/с}$

Для наглядности переведем скорость в километры в секунду: $v \approx 7.56$ км/с.

Далее найдем период обращения $T$. Период — это время, за которое спутник совершает один полный оборот по орбите. Он равен отношению длины орбиты (длины окружности $L = 2 \pi r$) к скорости движения $v$:

$T = \frac{L}{v} = \frac{2 \pi r}{v}$

Подставим вычисленные значения:

$T = \frac{2 \cdot 3.14159 \cdot 6.971 \cdot 10^6 \text{ м}}{7562 \text{ м/с}} \approx \frac{4.38 \cdot 10^7 \text{ м}}{7562 \text{ м/с}} \approx 5792 \text{ с}$

Выразим период в минутах: $T \approx \frac{5792}{60} \approx 96.5 \text{ минут}$.

Ответ:

Скорость, которую должен иметь спутник, составляет приблизительно $7562$ м/с (или $7.56$ км/с).

Период его обращения составляет приблизительно $5792$ секунды (или $96.5$ минут).