Номер 2, страница 134 - гдз по физике 9 класс учебник Закирова, Аширов

2. В чем заключается теорема об изменении кинетической энергии?

Теорема об изменении кинетической энергии устанавливает фундаментальную связь между работой, совершаемой над телом (или материальной точкой), и изменением его энергии движения (кинетической энергии).

Словесная формулировка теоремы звучит так: работа равнодействующей всех сил, приложенных к телу, равна изменению кинетической энергии этого тела.

Это означает, что для того, чтобы изменить кинетическую энергию тела (то есть изменить его скорость), необходимо совершить работу.

Математически теорема выражается следующей формулой:

$A_{рез} = \Delta E_k$

где $A_{рез}$ – работа равнодействующей силы (сумма работ всех сил, действующих на тело), а $\Delta E_k$ – изменение кинетической энергии.

Изменение кинетической энергии – это разность между конечной ($E_{k2}$) и начальной ($E_{k1}$) кинетической энергией:

$\Delta E_k = E_{k2} - E_{k1}$

Поскольку кинетическая энергия тела массы $m$, движущегося со скоростью $v$, вычисляется по формуле $E_k = \frac{mv^2}{2}$, то теорему можно записать в развернутом виде:

$A_{рез} = \frac{mv_2^2}{2} - \frac{mv_1^2}{2}$

где $v_1$ и $v_2$ – начальная и конечная скорости тела соответственно.

Решение

Для наглядности докажем эту теорему для простого случая – прямолинейного движения тела массой $m$ под действием постоянной равнодействующей силы $F$, направленной вдоль движения.

1. Из второго закона Ньютона мы знаем, что сила вызывает ускорение: $F = ma$.

2. Работа $A$, совершаемая постоянной силой $F$ на перемещении $s$, определяется как $A = F \cdot s$.

3. Подставим выражение для силы из пункта 1 в формулу работы: $A = (ma) \cdot s = mas$.

4. Для равноускоренного движения без начальной скорости, начавшегося из состояния покоя, существует формула, связывающая перемещение, ускорение и скорости: $s = \frac{v_2^2 - v_1^2}{2a}$.

5. Теперь подставим это выражение для перемещения $s$ в нашу формулу для работы из пункта 3:

$A = ma \left( \frac{v_2^2 - v_1^2}{2a} \right)$

6. Ускорение $a$ в числителе и знаменателе сокращается:

$A = m \left( \frac{v_2^2 - v_1^2}{2} \right) = \frac{mv_2^2}{2} - \frac{mv_1^2}{2}$

7. Мы пришли к искомой формуле, так как $\frac{mv_2^2}{2}$ – это конечная кинетическая энергия $E_{k2}$, а $\frac{mv_1^2}{2}$ – начальная кинетическая энергия $E_{k1}$.

Таким образом, $A = E_{k2} - E_{k1} = \Delta E_k$, что и требовалось доказать.

Эта теорема имеет важное следствие:

• Если суммарная работа всех сил положительна ($A_{рез} > 0$), то кинетическая энергия тела возрастает ($v_2 > v_1$), то есть тело ускоряется.
• Если суммарная работа всех сил отрицательна ($A_{рез} < 0$), то кинетическая энергия тела убывает ($v_2 < v_1$), то есть тело замедляется. Это работа сил сопротивления, например, силы трения.
• Если суммарная работа всех сил равна нулю ($A_{рез} = 0$), то кинетическая энергия тела не изменяется ($v_2 = v_1$), тело движется с постоянной скоростью или покоится.

Ответ:

Теорема об изменении кинетической энергии заключается в том, что работа, совершенная равнодействующей всех сил, действующих на тело, равна изменению кинетической энергии этого тела. Формула теоремы: $A_{рез} = \Delta E_k = E_{k2} - E_{k1} = \frac{mv_2^2}{2} - \frac{mv_1^2}{2}$.