Номер 86, страница 45 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

86. Около правильного шестиугольника со стороной $a$ описана окружность. Около этой окружности описан правильный треугольник. Найдите радиус описанной около треугольника окружности.

86. Около правильного шестиугольника со стороной $a$ описана окружность. Около этой окружности описан правильный треугольник. Найдите радиус описанной около треугольника окружности.

Пусть $a$ — сторона правильного шестиугольника.

1. Найдем радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника.
Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника ($R_{шест}$), равен его стороне. Следовательно, $R_{шест} = a$.

2. Свяжем эту окружность с правильным треугольником.
Согласно условию, эта же окружность (с радиусом $R_{шест} = a$) вписана в правильный треугольник. Это значит, что радиус вписанной в треугольник окружности ($r_{тр}$) равен радиусу этой окружности. $r_{тр} = R_{шест} = a$.

3. Найдем радиус окружности, описанной около правильного треугольника.
Для правильного треугольника радиус описанной окружности ($R_{тр}$) и радиус вписанной окружности ($r_{тр}$) связаны простым соотношением. Центры обеих окружностей совпадают и лежат в точке пересечения медиан, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Радиус описанной окружности — это расстояние от центра до вершины, а радиус вписанной — расстояние от центра до стороны. Отсюда следует, что: $R_{тр} = 2 \cdot r_{тр}$

Подставим известное значение $r_{тр} = a$ в эту формулу: $R_{тр} = 2a$

Ответ: $2a$