Номер 88, страница 45 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

88. Радиус окружности, описанной около правильного восьмиугольника $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$, равен 8 см. Найдите диагонали $A_1A_3$, $A_1A_4$ и $A_1A_5$.

88. Радиус окружности, описанной около правильного восьмиугольника $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$, равен 8 см. Найдите диагонали $A_1A_3$, $A_1A_4$ и $A_1A_5$.

Пусть $O$ - центр окружности, описанной около правильного восьмиугольника $A_1A_2...A_8$. Радиус этой окружности $R = OA_1 = OA_2 = ... = OA_8 = 8$ см. Центральный угол, опирающийся на одну сторону правильного восьмиугольника, равен $\frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$. То есть, $\angle A_1OA_2 = \angle A_2OA_3 = ... = 45^\circ$. Для нахождения длины диагонали $A_iA_j$ будем рассматривать равнобедренный треугольник $\triangle A_iOA_j$ со сторонами $OA_i=OA_j=R$ и углом $\angle A_iOA_j$ между ними. Длину диагонали можно найти по теореме косинусов: $A_iA_j^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(\angle A_iOA_j) = 2R^2(1 - \cos(\angle A_iOA_j))$.

$A_1A_3$

Диагональ $A_1A_3$ соединяет вершины через одну. Центральный угол $\angle A_1OA_3$ опирается на две стороны восьмиугольника ($A_1A_2$ и $A_2A_3$), поэтому он равен $2 \cdot 45^\circ = 90^\circ$. В равнобедренном треугольнике $\triangle A_1OA_3$ угол при вершине $O$ равен $90^\circ$, значит, он является прямоугольным. По теореме Пифагора: $A_1A_3^2 = OA_1^2 + OA_3^2 = R^2 + R^2 = 2R^2$. Отсюда, $A_1A_3 = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$. Подставляя значение $R=8$ см, получаем $A_1A_3 = 8\sqrt{2}$ см. Ответ: $8\sqrt{2}$ см.

$A_1A_4$

Диагональ $A_1A_4$ соединяет вершины через две. Центральный угол $\angle A_1OA_4$ опирается на три стороны восьмиугольника, поэтому он равен $3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$. В равнобедренном треугольнике $\triangle A_1OA_4$ применим теорему косинусов: $A_1A_4^2 = R^2 + R^2 - 2R^2 \cos(135^\circ) = 2R^2(1 - \cos(135^\circ))$. Так как $\cos(135^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем: $A_1A_4^2 = 2R^2 \left(1 - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right) = 2R^2 \left(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = R^2(2+\sqrt{2})$. Отсюда, $A_1A_4 = \sqrt{R^2(2+\sqrt{2})} = R\sqrt{2+\sqrt{2}}$. Подставляя значение $R=8$ см, получаем $A_1A_4 = 8\sqrt{2+\sqrt{2}}$ см. Ответ: $8\sqrt{2+\sqrt{2}}$ см.

$A_1A_5$

Диагональ $A_1A_5$ соединяет противолежащие вершины правильного восьмиугольника. Эта диагональ проходит через центр окружности $O$ и является её диаметром. Центральный угол $\angle A_1OA_5$ равен $4 \cdot 45^\circ = 180^\circ$, что подтверждает, что точки $A_1$, $O$, $A_5$ лежат на одной прямой. Длина диагонали $A_1A_5$ равна диаметру окружности: $A_1A_5 = 2R$. Подставляя значение $R=8$ см, получаем $A_1A_5 = 2 \cdot 8 = 16$ см. Ответ: 16 см.