Номер 90, страница 45 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

90. Сторона правильного восьмиугольника равна 2 см. Его стороны, взятые через одну, продолжили до пересечения так, что образовался квадрат. Найдите сторону этого квадрата.

90. Сторона правильного восьмиугольника равна 2 см. Его стороны, взятые через одну, продолжили до пересечения так, что образовался квадрат. Найдите сторону этого квадрата.

Пусть сторона правильного восьмиугольника равна $a = 2$ см. При продлении его сторон, взятых через одну, до их пересечения, образуется квадрат, который описывает данный восьмиугольник. По углам между квадратом и восьмиугольником образуются четыре одинаковых треугольника.

Рассмотрим один из таких треугольников. Его основанием служит одна из сторон восьмиугольника, а две другие стороны лежат на продолжениях соседних сторон восьмиугольника, которые были взяты через одну. Углы при основании этого треугольника равны внешним углам правильного восьмиугольника.

Сначала найдем величину внутреннего угла правильного восьмиугольника по формуле для n-угольника:$\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} = \frac{(8-2) \cdot 180^\circ}{8} = \frac{6 \cdot 180^\circ}{8} = 135^\circ$.

Внешний угол восьмиугольника будет равен:$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

Следовательно, у каждого из четырех образовавшихся треугольников углы при основании равны $45^\circ$. Третий угол в этих треугольниках равен $180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ$. Это подтверждает, что образовавшаяся фигура является квадратом, так как все ее углы прямые. Также это означает, что все четыре треугольника по углам являются прямоугольными и равнобедренными.

Гипотенузой каждого такого треугольника является сторона восьмиугольника (та, которую "пропустили"), ее длина по условию равна $a = 2$ см. Катеты этих треугольников равны. Обозначим длину катета как $x$.

По теореме Пифагора для одного из этих треугольников:$x^2 + x^2 = a^2$$2x^2 = 2^2$$2x^2 = 4$$x^2 = 2$$x = \sqrt{2}$ см.

Сторона образовавшегося квадрата складывается из одной стороны восьмиугольника (которую продлевали) и двух катетов от двух соседних угловых треугольников. Таким образом, длина стороны квадрата $S$ вычисляется как:$S = x + a + x = a + 2x$.

Подставим найденные значения $a$ и $x$:$S = 2 + 2\sqrt{2}$ см.

Ответ: $2 + 2\sqrt{2}$ см.