Номер 87, страница 45 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

87. В окружность радиуса $2\sqrt{3}$ см вписан правильный треугольник. На его высоте как на стороне построен квадрат, и в него вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.

87. В окружность радиуса $2\sqrt{3}$ см вписан правильный треугольник. На его высоте как на стороне построен квадрат, и в него вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.

1. Нахождение стороны правильного треугольника
Пусть $R$ — радиус описанной окружности, а $a$ — сторона вписанного в нее правильного треугольника. Связь между ними выражается формулой: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$. Из условия задачи известно, что $R = 2\sqrt{3}$ см. Подставим это значение в формулу и найдем сторону треугольника $a$: $2\sqrt{3} = \frac{a}{\sqrt{3}}$ $a = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 3 = 6$ см.

2. Нахождение высоты правильного треугольника
Высота $h$ правильного треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Подставим найденное значение стороны $a = 6$ см: $h = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.

3. Нахождение радиуса окружности, вписанной в квадрат
По условию, на высоте треугольника как на стороне построен квадрат. Следовательно, сторона квадрата $s$ равна высоте треугольника $h$: $s = h = 3\sqrt{3}$ см. В этот квадрат вписана окружность. Диаметр окружности, вписанной в квадрат, равен стороне этого квадрата. Радиус $r$ такой окружности равен половине стороны квадрата: $r = \frac{s}{2}$. Подставим значение стороны квадрата $s$: $r = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ см.