Номер 81, страница 44 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

81. Отрезки $AB$, $BC$ и $CD$ — три последовательные стороны правильного многоугольника. Продолжения сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $K$, $\angle BKC = 160^\circ$. Найдите количество сторон многоугольника.

81. Отрезки $AB, BC$ и $CD$ — три последовательные стороны правильного многоугольника. Продолжения сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $K$, $\angle BKC = 160^\circ$. Найдите количество сторон многоугольника.

Пусть $n$ — количество сторон правильного многоугольника.Все внутренние углы правильного n-угольника равны, и все внешние углы также равны.Обозначим величину внешнего угла многоугольника через $\beta$. Величина внешнего угла связана с количеством сторон $n$ формулой:$\beta = \frac{360^\circ}{n}$

Рассмотрим треугольник $KBC$, образованный пересечением продолжений сторон $AB$ и $CD$.Вершины многоугольника $A$, $B$, $C$, $D$ идут последовательно.Угол $\angle KBC$ является внешним углом многоугольника при вершине $B$. Следовательно, $\angle KBC = \beta$.Аналогично, угол $\angle KCB$ является внешним углом многоугольника при вершине $C$. Следовательно, $\angle KCB = \beta$.Таким образом, треугольник $KBC$ является равнобедренным, так как углы при его основании $BC$ равны: $\angle KBC = \angle KCB$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $KBC$ имеем:$\angle BKC + \angle KBC + \angle KCB = 180^\circ$

По условию задачи $\angle BKC = 160^\circ$. Подставим известные значения в уравнение:$160^\circ + \beta + \beta = 180^\circ$$160^\circ + 2\beta = 180^\circ$$2\beta = 180^\circ - 160^\circ$$2\beta = 20^\circ$$\beta = 10^\circ$

Теперь, зная величину внешнего угла, мы можем найти количество сторон многоугольника $n$:$n = \frac{360^\circ}{\beta} = \frac{360^\circ}{10^\circ} = 36$

Следовательно, у многоугольника 36 сторон.
Ответ: 36