Номер 74, страница 43 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

74. Определите количество сторон правильного многоугольника, если угол, смежный с углом многоугольника, на $156^\circ$ меньше угла многоугольника.

74. Определите количество сторон правильного многоугольника, если угол, смежный с углом многоугольника, на $156^\circ$ меньше угла многоугольника.

Пусть $\alpha$ — величина внутреннего угла правильного многоугольника, а $\beta$ — величина смежного с ним (внешнего) угла.

По свойству смежных углов, их сумма равна $180^\circ$. Таким образом, мы можем записать первое уравнение:
$\alpha + \beta = 180^\circ$

По условию задачи, смежный угол на $156^\circ$ меньше угла многоугольника. Это дает нам второе уравнение:
$\beta = \alpha - 156^\circ$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} \alpha + \beta = 180^\circ \\ \beta = \alpha - 156^\circ \end{cases}$

Подставим выражение для $\beta$ из второго уравнения в первое:
$\alpha + (\alpha - 156^\circ) = 180^\circ$

Решим полученное уравнение относительно $\alpha$:
$2\alpha - 156^\circ = 180^\circ$
$2\alpha = 180^\circ + 156^\circ$
$2\alpha = 336^\circ$
$\alpha = \frac{336^\circ}{2} = 168^\circ$

Итак, внутренний угол многоугольника равен $168^\circ$. Теперь найдем величину внешнего угла $\beta$:
$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 168^\circ = 12^\circ$

Количество сторон правильного многоугольника ($n$) можно найти, зная величину его внешнего угла, по формуле:
$\beta = \frac{360^\circ}{n}$

Выразим из этой формулы $n$:
$n = \frac{360^\circ}{\beta}$

Подставим найденное значение $\beta = 12^\circ$:
$n = \frac{360^\circ}{12^\circ} = 30$

Таким образом, искомый правильный многоугольник имеет 30 сторон.

Ответ: 30.