Номер 70, страница 43 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

70. В окружность вписан четырёхугольник, стороны которого последовательно равны 4 см, 6 см, 8 см и 12 см. Найдите площадь четырёхугольника.

70. В окружность вписан четырёхугольник, стороны которого последовательно равны 4 см, 6 см, 8 см и 12 см. Найдите площадь четырёхугольника.

Для нахождения площади четырехугольника, вписанного в окружность (такой четырехугольник называется вписанным), можно использовать формулу Брахмагупты. Эта формула позволяет вычислить площадь по известным длинам сторон.

Формула Брахмагупты для площади $S$ вписанного четырехугольника со сторонами $a$, $b$, $c$, $d$ выглядит следующим образом:
$S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$
где $p$ — это полупериметр четырехугольника, который вычисляется как $p = \frac{a+b+c+d}{2}$.

В нашей задаче даны стороны четырехугольника: $a = 4$ см, $b = 6$ см, $c = 8$ см, $d = 12$ см.

1. Сначала вычислим полупериметр $p$:
$p = \frac{4 + 6 + 8 + 12}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.

2. Теперь найдем разности между полупериметром и каждой из сторон:
$p - a = 15 - 4 = 11$
$p - b = 15 - 6 = 9$
$p - c = 15 - 8 = 7$
$p - d = 15 - 12 = 3$

3. Подставим полученные значения в формулу Брахмагупты, чтобы найти площадь $S$:
$S = \sqrt{11 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 3}$
Сгруппируем множители для удобства извлечения корня:
$S = \sqrt{9 \cdot (11 \cdot 7 \cdot 3)} = \sqrt{9 \cdot 231}$
$S = \sqrt{9} \cdot \sqrt{231} = 3\sqrt{231}$ см².

Ответ: $3\sqrt{231}$ см².