Номер 72, страница 43 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

72. Найдите количество сторон правильного многоугольника, если:

1) его угол равен $172^\circ$;

2) угол, смежный с углом многоугольника, равен $24^\circ$.

72. Найдите количество сторон правильного многоугольника, если:

1) его угол равен $172^\circ$;

2) угол, смежный с углом многоугольника, равен $24^\circ$.

1) Пусть $n$ — искомое количество сторон правильного многоугольника. Внутренний угол правильного многоугольника ($\alpha$) и его внешний угол ($\beta$) являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$. По условию, внутренний угол $\alpha = 172^\circ$.

Найдем величину внешнего угла:

$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 172^\circ = 8^\circ$

Сумма всех внешних углов любого выпуклого многоугольника всегда равна $360^\circ$. Так как в правильном многоугольнике все внешние углы равны, то количество сторон $n$ можно найти, разделив $360^\circ$ на величину одного внешнего угла:

$n = \frac{360^\circ}{\beta}$

Подставим найденное значение $\beta$:

$n = \frac{360^\circ}{8^\circ} = 45$

Следовательно, у многоугольника 45 сторон.

Ответ: 45.

2) Угол, смежный с внутренним углом многоугольника, по определению является его внешним углом. По условию задачи, величина внешнего угла $\beta$ равна $24^\circ$.

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна $360^\circ$. Для правильного $n$-угольника все его $n$ внешних углов равны. Поэтому количество сторон $n$ можно найти по формуле:

$n = \frac{360^\circ}{\beta}$

Подставим в формулу данное значение внешнего угла:

$n = \frac{360^\circ}{24^\circ} = 15$

Таким образом, многоугольник имеет 15 сторон.

Ответ: 15.