Номер 69, страница 43 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

69. Диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Площади треугольников $AOB$, $BOC$ и $AOD$ соответственно равны $12 \text{ см}^2$, $8 \text{ см}^2$ и $9 \text{ см}^2$. Найдите площадь четырёхугольника $ABCD$.

69. Диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Площади треугольников $AOB$, $BOC$ и $AOD$ соответственно равны $12\text{ см}^2$, $8\text{ см}^2$ и $9\text{ см}^2$.

Найдите площадь четырёхугольника $ABCD$.

Пусть диагонали $AC$ и $BD$ выпуклого четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. При этом четырехугольник разбивается на четыре треугольника: $AOB$, $BOC$, $COD$ и $AOD$. Площадь всего четырехугольника равна сумме площадей этих треугольников: $S_{ABCD} = S_{AOB} + S_{BOC} + S_{COD} + S_{AOD}$.

По условию задачи нам известны площади трех треугольников: $S_{AOB} = 12$ см², $S_{BOC} = 8$ см², и $S_{AOD} = 9$ см². Для нахождения площади четырехугольника $ABCD$ нам необходимо сначала вычислить площадь четвертого треугольника $COD$.

Воспользуемся свойством площадей треугольников, образованных пересечением диагоналей выпуклого четырехугольника. Рассмотрим треугольники $AOB$ и $AOD$. У них есть общая высота, проведенная из вершины $A$ к диагонали $BD$. Это означает, что отношение их площадей равно отношению их оснований: $\frac{S_{AOB}}{S_{AOD}} = \frac{BO}{DO}$.

Аналогично, рассмотрим треугольники $BOC$ и $COD$. У них есть общая высота, проведенная из вершины $C$ к диагонали $BD$. Поэтому отношение их площадей также равно отношению их оснований: $\frac{S_{BOC}}{S_{COD}} = \frac{BO}{DO}$.

Приравнивая два полученных выражения, получаем: $\frac{S_{AOB}}{S_{AOD}} = \frac{S_{BOC}}{S_{COD}}$.

Это равенство можно переписать в виде: $S_{AOB} \cdot S_{COD} = S_{AOD} \cdot S_{BOC}$. Данное свойство гласит, что произведения площадей противолежащих треугольников, образованных пересечением диагоналей выпуклого четырехугольника, равны.

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти $S_{COD}$: $12 \cdot S_{COD} = 9 \cdot 8$ $12 \cdot S_{COD} = 72$ $S_{COD} = \frac{72}{12}$ $S_{COD} = 6$ см².

Теперь, зная площади всех четырех треугольников, мы можем найти общую площадь четырехугольника $ABCD$: $S_{ABCD} = S_{AOB} + S_{BOC} + S_{COD} + S_{AOD} = 12 + 8 + 6 + 9 = 35$ см².

Ответ: 35 см².