Номер 64, страница 42 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

64. Один из углов ромба на $120^\circ$ больше другого, а его сторона равна $6\sqrt{3}$ см. Найдите площадь ромба.

64. Один из углов ромба на $120^\circ$ больше другого, а его сторона равна $6\sqrt{3}$ см. Найдите площадь ромба.

Обозначим два разных угла ромба как $\alpha$ и $\beta$. В ромбе, как и в любом параллелограмме, сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. По условию задачи, один угол на $120^\circ$ больше другого. Мы можем составить систему уравнений для нахождения углов ромба:

$ \begin{cases} \alpha + \beta = 180^\circ \\ \beta = \alpha + 120^\circ \end{cases} $

Подставим второе уравнение в первое, чтобы найти меньший угол $\alpha$:

$\alpha + (\alpha + 120^\circ) = 180^\circ$

$2\alpha + 120^\circ = 180^\circ$

$2\alpha = 180^\circ - 120^\circ$

$2\alpha = 60^\circ$

$\alpha = 30^\circ$

Теперь найдем больший угол $\beta$:

$\beta = 30^\circ + 120^\circ = 150^\circ$

Таким образом, углы ромба равны $30^\circ$ и $150^\circ$.

Площадь ромба можно вычислить по формуле:

$S = a^2 \cdot \sin(\alpha)$, где $a$ — сторона ромба, а $\alpha$ — угол между сторонами.

Из условия известно, что сторона ромба $a = 6\sqrt{3}$ см. Используем для расчета острый угол $\alpha = 30^\circ$.

$S = (6\sqrt{3})^2 \cdot \sin(30^\circ)$

Сначала возведем в квадрат сторону:

$a^2 = (6\sqrt{3})^2 = 6^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 36 \cdot 3 = 108$ см$^2$.

Значение синуса $30^\circ$ равно $\frac{1}{2}$.

Теперь подставим найденные значения в формулу площади:

$S = 108 \cdot \frac{1}{2} = 54$ см$^2$.

Ответ: 54 см$^2$.