Номер 61, страница 42 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

61. Стороны треугольника равны 10 см, 17 см и 21 см. Найдите наибольшую высоту треугольника, радиусы вписанной в него и описанной около него окружностей.

61. Стороны треугольника равны 10 см, 17 см и 21 см. Найдите наибольшую высоту треугольника, радиусы вписанной в него и описанной около него окружностей.

Для решения задачи сначала необходимо найти площадь треугольника. Так как известны все три стороны, удобнее всего воспользоваться формулой Герона.

Обозначим стороны треугольника: $a = 10$ см, $b = 17$ см, $c = 21$ см.

1. Вычислим полупериметр $p$ треугольника:

$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{10 + 17 + 21}{2} = \frac{48}{2} = 24$ см.

2. Вычислим площадь $S$ треугольника по формуле Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$S = \sqrt{24(24-10)(24-17)(24-21)} = \sqrt{24 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 3}$

Разложим числа под корнем на множители для удобства вычисления:

$S = \sqrt{(8 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 7) \cdot 7 \cdot 3} = \sqrt{(16 \cdot 3^2 \cdot 7^2)} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{7^2} = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 84$ см².

Теперь, зная площадь треугольника, мы можем найти все требуемые величины.

Наибольшая высота треугольника

В любом треугольнике наибольшая высота проведена к наименьшей стороне. В нашем случае наименьшая сторона – это $a = 10$ см. Площадь треугольника можно выразить через основание и высоту: $S = \frac{1}{2} a h_a$. Отсюда найдем наибольшую высоту $h_{max} = h_a$:

$h_{max} = \frac{2S}{a} = \frac{2 \cdot 84}{10} = \frac{168}{10} = 16,8$ см.

Ответ: $16,8$ см.

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной в треугольник окружности ($r$) вычисляется по формуле: $r = \frac{S}{p}$, где $S$ – площадь, а $p$ – полупериметр.

$r = \frac{84}{24}$

Сократим дробь на 12:

$r = \frac{7}{2} = 3,5$ см.

Ответ: $3,5$ см.

Радиус описанной окружности

Радиус описанной около треугольника окружности ($R$) вычисляется по формуле: $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ – стороны треугольника, а $S$ – его площадь.

$R = \frac{10 \cdot 17 \cdot 21}{4 \cdot 84}$

Сократим дробь. Так как $84 = 4 \cdot 21$, то:

$R = \frac{10 \cdot 17 \cdot 21}{4 \cdot (4 \cdot 21)} = \frac{10 \cdot 17}{4 \cdot 4} = \frac{170}{16}$

Сократим полученную дробь на 2:

$R = \frac{85}{8} = 10,625$ см.

Ответ: $10,625$ см.