Номер 57, страница 41 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

57. Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ (рис. 29), $AO = 9$ см, $OB = 4$ см, $CO = 5$ см, $OD = 6$ см. Найдите отношение площадей треугольников $AOD$ и $COB$.

57. Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ (рис. 29), $AO = 9$ см, $OB = 4$ см, $CO = 5$ см, $OD = 6$ см. Найдите отношение площадей треугольников $AOD$ и $COB$.

Рис. 29

Для нахождения отношения площадей треугольников AOD и COB воспользуемся формулой площади треугольника через две стороны и синус угла между ними: $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$.

Площадь треугольника AOD ($S_{AOD}$) и площадь треугольника COB ($S_{COB}$) можно выразить следующим образом:
$S_{AOD} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot OD \cdot \sin(\angle AOD)$
$S_{COB} = \frac{1}{2} \cdot CO \cdot OB \cdot \sin(\angle COB)$

Углы $\angle AOD$ и $\angle COB$ являются вертикальными, так как они образованы пересечением отрезков AB и CD. Вертикальные углы равны, следовательно, равны и их синусы:
$\angle AOD = \angle COB$, и $\sin(\angle AOD) = \sin(\angle COB)$.

Теперь найдем отношение площадей, разделив площадь одного треугольника на площадь другого:
$\frac{S_{AOD}}{S_{COB}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AO \cdot OD \cdot \sin(\angle AOD)}{\frac{1}{2} \cdot CO \cdot OB \cdot \sin(\angle COB)}$

Поскольку $\sin(\angle AOD) = \sin(\angle COB)$, мы можем сократить $\frac{1}{2}$ и синусы в числителе и знаменателе. Отношение площадей будет равно отношению произведений сторон, образующих эти углы:
$\frac{S_{AOD}}{S_{COB}} = \frac{AO \cdot OD}{CO \cdot OB}$

Подставим известные значения длин отрезков из условия: $AO = 9$ см, $OD = 6$ см, $CO = 5$ см и $OB = 4$ см.
$\frac{S_{AOD}}{S_{COB}} = \frac{9 \cdot 6}{5 \cdot 4} = \frac{54}{20}$

Сократим полученную дробь:
$\frac{54}{20} = \frac{27}{10} = 2,7$

Ответ: 2,7.