Номер 58, страница 42 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

58. На сторонах угла $O$ отложены отрезки $OA = 8$ см, $AB = 3$ см, $OC = 5$ см, $CD = 7$ см (рис. 30). Найдите отношение площадей треугольника $OBD$ и четырёхугольника $ABDC$.

Рис. 30

58. На сторонах угла $O$ отложены отрезки $OA = 8$ см, $AB = 3$ см, $OC = 5$ см, $CD = 7$ см (рис. 30). Найдите отношение площадей треугольника $OBD$ и четырёхугольника $ABDC$.

Рис. 30

Для решения задачи воспользуемся формулой площади треугольника через две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$, где $a$ и $b$ — стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними.

В данной задаче треугольники $OAC$ и $OBD$ имеют общий угол при вершине $O$. Обозначим этот угол как $\alpha$.

Из условия задачи известны длины отрезков: $OA = 8$ см, $AB = 3$ см, $OC = 5$ см, $CD = 7$ см.Найдем длины сторон $OB$ и $OD$ треугольника $OBD$:
$OB = OA + AB = 8 + 3 = 11$ см.
$OD = OC + CD = 5 + 7 = 12$ см.

Теперь можем выразить площади нужных нам фигур.
Площадь треугольника $OBD$ ($S_{OBD}$) равна:
$S_{OBD} = \frac{1}{2} \cdot OB \cdot OD \cdot \sin\alpha = \frac{1}{2} \cdot 11 \cdot 12 \cdot \sin\alpha = 66\sin\alpha$.

Площадь четырехугольника $ABDC$ ($S_{ABDC}$) можно найти как разность площадей треугольника $OBD$ и треугольника $OAC$.
Сначала найдем площадь треугольника $OAC$ ($S_{OAC}$):
$S_{OAC} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OC \cdot \sin\alpha = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \sin\alpha = 20\sin\alpha$.
Теперь вычислим площадь четырехугольника $ABDC$:
$S_{ABDC} = S_{OBD} - S_{OAC} = 66\sin\alpha - 20\sin\alpha = 46\sin\alpha$.

Наконец, найдем искомое отношение площади треугольника $OBD$ к площади четырехугольника $ABDC$:
$\frac{S_{OBD}}{S_{ABDC}} = \frac{66\sin\alpha}{46\sin\alpha}$.

Поскольку угол $\alpha$ является углом в треугольнике, его синус не равен нулю ($\sin\alpha \neq 0$), поэтому мы можем сократить дробь на $\sin\alpha$, а также на их общий делитель 2:
$\frac{66}{46} = \frac{33 \cdot 2}{23 \cdot 2} = \frac{33}{23}$.

Ответ: $\frac{33}{23}$.