Номер 55, страница 41 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

55. Две стороны треугольника равны 7 см и 6 см. Может ли его площадь быть равной:

1) $23 \text{ см}^2$;

2) $17 \text{ см}^2$?

55. Две стороны треугольника равны 7 см и 6 см. Может ли его площадь быть равной:

1) 23 $cm^2$;

2) 17 $cm^2$?

Площадь треугольника можно найти по формуле, использующей две стороны и синус угла между ними: $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a$ и $b$ — длины сторон, а $\gamma$ — угол между ними.

В нашем случае $a = 7$ см и $b = 6$ см. Формула для площади выглядит так: $S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 6 \cdot \sin\gamma = 21\sin\gamma$.

Значение синуса любого угла в треугольнике (от 0° до 180°) находится в пределах $0 < \sin\gamma \le 1$.

Следовательно, площадь такого треугольника может принимать значения от 0 (не включая) до максимального значения, которое достигается при $\sin\gamma = 1$ (когда угол $\gamma = 90°$).

Максимально возможная площадь треугольника с такими сторонами равна: $S_{max} = 21 \cdot 1 = 21 \text{ см}^2$.

Теперь сравним заданные значения площади с максимально возможной.

1)

Предположим, что площадь равна 23 см². Это значение больше максимально возможной площади (21 см²): $23 \text{ см}^2 > 21 \text{ см}^2$. Чтобы получить такую площадь, потребовалось бы, чтобы $\sin\gamma = \frac{23}{21}$, что больше 1. Это невозможно. Следовательно, площадь треугольника не может быть равной 23 см².

Ответ: не может.

2)

Предположим, что площадь равна 17 см². Это значение меньше максимально возможной площади (21 см²): $17 \text{ см}^2 < 21 \text{ см}^2$. Для этого требуется, чтобы $17 = 21\sin\gamma$, то есть $\sin\gamma = \frac{17}{21}$. Так как $0 < \frac{17}{21} < 1$, то существует такой угол $\gamma$, для которого это равенство выполняется. Следовательно, площадь треугольника может быть равной 17 см².

Ответ: может.