Номер 60, страница 42 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

60. Три окружности, радиусы которых равны 9 см, 11 см и 12 см, попарно касаются друг друга внешним образом. Найдите площадь треугольника, вершинами которого являются центры этих окружностей.

60. Три окружности, радиусы которых равны 9 см, 11 см и 12 см, попарно касаются друг друга внешним образом. Найдите площадь треугольника, вершинами которого являются центры этих окружностей.

Пусть радиусы трех окружностей равны $r_1 = 9$ см, $r_2 = 11$ см, и $r_3 = 12$ см. Вершинами искомого треугольника являются центры этих окружностей. Обозначим стороны этого треугольника как $a, b, c$.

Поскольку окружности касаются друг друга внешним образом, расстояние между центрами двух касающихся окружностей равно сумме их радиусов. Таким образом, стороны треугольника равны:

$a = r_1 + r_2 = 9 + 11 = 20$ см

$b = r_1 + r_3 = 9 + 12 = 21$ см

$c = r_2 + r_3 = 11 + 12 = 23$ см

Для нахождения площади треугольника по трем известным сторонам воспользуемся формулой Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.

Сначала вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{20+21+23}{2} = \frac{64}{2} = 32$ см.

Теперь подставим значения в формулу Герона:

$S = \sqrt{32(32-20)(32-21)(32-23)}$

$S = \sqrt{32 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 9}$

Разложим числа под корнем на множители для упрощения:

$S = \sqrt{(16 \cdot 2) \cdot (4 \cdot 3) \cdot 11 \cdot 9} = \sqrt{16 \cdot 4 \cdot 9 \cdot (2 \cdot 3 \cdot 11)}$

Вынесем множители из-под знака корня:

$S = \sqrt{16} \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{66} = 4 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{66} = 24\sqrt{66}$ см².

Ответ: $24\sqrt{66}$ см².