Номер 62, страница 42 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

62. В треугольник со сторонами 15 см, 28 см и 41 см вписана окружность, центр которой соединён с вершинами треугольника. Найдите площади трёх образовавшихся треугольников.

62. В треугольник со сторонами 15 см, 28 см и 41 см вписана окружность, центр которой соединён с вершинами треугольника. Найдите площади трёх образовавшихся треугольников.

Пусть стороны исходного треугольника равны $a = 15$ см, $b = 28$ см и $c = 41$ см. Центр вписанной окружности, соединенный с вершинами, делит исходный треугольник на три треугольника. Основаниями этих трех треугольников являются стороны исходного треугольника ($a, b, c$), а высота каждого из них равна радиусу вписанной окружности $r$.

Для нахождения площадей этих треугольников необходимо сначала вычислить радиус вписанной окружности $r$. Радиус находится по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь исходного треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Сначала вычислим полупериметр $p$ исходного треугольника: $p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{15 + 28 + 41}{2} = \frac{84}{2} = 42$ см.

Далее найдем площадь исходного треугольника $S$ по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$. $S = \sqrt{42(42-15)(42-28)(42-41)} = \sqrt{42 \cdot 27 \cdot 14 \cdot 1}$. Для удобства вычислений разложим подкоренное выражение на множители: $S = \sqrt{(2 \cdot 3 \cdot 7) \cdot (3^3) \cdot (2 \cdot 7)} = \sqrt{2^2 \cdot 3^4 \cdot 7^2} = 2 \cdot 3^2 \cdot 7 = 126$ см$^2$.

Зная площадь и полупериметр, найдем радиус вписанной окружности $r$: $r = \frac{S}{p} = \frac{126}{42} = 3$ см.

Теперь мы можем вычислить площади трёх образовавшихся треугольников, используя найденный радиус. Площадь треугольника с основанием $s$ и высотой $r$ равна $\frac{1}{2}sr$.
Площадь первого треугольника (основание 15 см): $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 3 = \frac{45}{2} = 22,5$ см$^2$.
Площадь второго треугольника (основание 28 см): $S_2 = \frac{1}{2} \cdot 28 \cdot 3 = 14 \cdot 3 = 42$ см$^2$.
Площадь третьего треугольника (основание 41 см): $S_3 = \frac{1}{2} \cdot 41 \cdot 3 = \frac{123}{2} = 61,5$ см$^2$.

Ответ: 22,5 см$^2$, 42 см$^2$, 61,5 см$^2$.