Номер 65, страница 42 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

65. Площадь прямоугольника равна $36\sqrt{3}$ см$^2$, а угол между его диагоналями — $60^\circ$. Найдите стороны прямоугольника.

65. Площадь прямоугольника равна $36\sqrt{3}$ см², а угол между его диагоналями — $60^\circ$. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, а его диагональ равна $d$. Площадь прямоугольника $S$ можно найти двумя способами: как произведение сторон ($S = ab$) или через его диагонали и угол между ними ($\alpha$). Так как диагонали прямоугольника равны, формула площади имеет вид:

$S = \frac{1}{2}d^2 \sin \alpha$

По условию задачи, площадь $S = 36\sqrt{3} \text{ см}^2$, а угол между диагоналями $\alpha = 60^\circ$. Подставим эти значения в формулу, чтобы найти длину диагонали $d$.

$36\sqrt{3} = \frac{1}{2}d^2 \sin(60^\circ)$

Зная, что $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$36\sqrt{3} = \frac{1}{2}d^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$36\sqrt{3} = \frac{d^2\sqrt{3}}{4}$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:

$36 = \frac{d^2}{4}$

Отсюда находим $d^2$:

$d^2 = 36 \cdot 4 = 144$

$d = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$.

Диагонали прямоугольника в точке пересечения делятся пополам. Они образуют две пары равных равнобедренных треугольников. Рассмотрим один из этих треугольников, у которого угол при вершине равен $60^\circ$. Две его стороны равны половине диагонали, то есть $d/2 = 12/2 = 6 \text{ см}$. Поскольку это равнобедренный треугольник с углом при вершине $60^\circ$, то он является равносторонним. Следовательно, третья сторона этого треугольника, которая является одной из сторон прямоугольника, также равна $6 \text{ см}$.

Пусть сторона $a = 6 \text{ см}$.

Стороны прямоугольника $a$, $b$ и его диагональ $d$ связаны теоремой Пифагора: $a^2 + b^2 = d^2$. Подставим известные значения $a=6$ и $d=12$, чтобы найти вторую сторону $b$:

$6^2 + b^2 = 12^2$

$36 + b^2 = 144$

$b^2 = 144 - 36$

$b^2 = 108$

$b = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3} \text{ см}$.

Таким образом, стороны прямоугольника равны $6 \text{ см}$ и $6\sqrt{3} \text{ см}$.

Ответ: $6 \text{ см}$ и $6\sqrt{3} \text{ см}$.