Номер 68, страница 43 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

68. Сторона равностороннего треугольника равна 2 см. На сторонах треугольника во внешнюю сторону построены квадраты. Найдите площадь шестиугольника, вершинами которого являются вершины квадратов, не принадлежащих данному треугольнику.

68. Сторона равностороннего треугольника равна 2 см. На сторонах треугольника во внешнюю сторону построены квадраты. Найдите площадь шестиугольника, вершинами которого являются вершины квадратов, не принадлежащих данному треугольнику.

Площадь искомого шестиугольника можно найти, сложив площади фигур, из которых он состоит. Эта составная фигура включает в себя:

• Один центральный равносторонний треугольник.
• Три квадрата, построенных на каждой из его сторон.
• Три равнобедренных треугольника, находящихся в углах между квадратами.

Рассчитаем площадь каждой части по отдельности.

1. Площадь равностороннего треугольника

Сторона равностороннего треугольника по условию равна $a = 2$ см. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле:

$S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим значение стороны:

$S_{\triangle} = \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$ см².

2. Общая площадь трех квадратов

Квадраты построены на сторонах треугольника, поэтому сторона каждого квадрата также равна $a = 2$ см. Площадь одного квадрата:

$S_{\square} = a^2 = 2^2 = 4$ см².

Поскольку квадратов три, их общая площадь составляет:

$S_{\text{3}\square} = 3 \cdot S_{\square} = 3 \cdot 4 = 12$ см².

3. Общая площадь трех внешних треугольников

Между каждой парой смежных квадратов образуется треугольник. Две стороны каждого такого треугольника являются сторонами квадратов, то есть они равны по 2 см. Найдем угол между этими сторонами. Этот угол дополняет углы при вершине исходного треугольника до полного оборота в $360^\circ$. Угол равностороннего треугольника равен $60^\circ$, а углы квадратов — по $90^\circ$.

Угол при вершине внешнего треугольника равен:

$\alpha = 360^\circ - 90^\circ - 60^\circ - 90^\circ = 120^\circ$.

Площадь одного такого треугольника найдем по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними:

$S_{\text{внеш. }\triangle} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin\alpha = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sin(120^\circ)$

Зная, что $\sin(120^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$S_{\text{внеш. }\triangle} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см².

Таких треугольников три, поэтому их общая площадь:

$S_{\text{3 внеш. }\triangle} = 3 \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$ см².

4. Общая площадь шестиугольника

Для нахождения общей площади шестиугольника сложим площади всех найденных частей:

$S_{\text{шестиуг.}} = S_{\triangle} + S_{\text{3}\square} + S_{\text{3 внеш. }\triangle}$

$S_{\text{шестиуг.}} = \sqrt{3} + 12 + 3\sqrt{3} = 12 + 4\sqrt{3}$ см².

Ответ: $12 + 4\sqrt{3}$ см².